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《华东师范大学》 2008年
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高维空间中的同宿环和异维环分支问题

邓桂丰  
【摘要】: 本文主要研究四维空间中的具有双轨道翻转的同宿环分支问题,由具有1维不变子空间的对合所确定的3维反转系统中的异维环分支问题,以及近可积耦合非线性Schr(?)dinger(NLS)方程所对应的动力学系统的异宿轨线的存在性,具有偶的周期边界条件的扰动NLS方程的孤立子(同宿轨线)的保存性及其相应的混沌性态问题. 第一章主要介绍了本论文的研究背景、意义及主要结果. 在第二章中研究了双向分别沿强稳定和强不稳定方向趋于实鞍点的同宿轨线的分支问题.由于通有性的丧失,这类问题变得非常复杂.本章证明了在参数空间的原点小邻域内存在余维1的同宿轨分支曲面和2重周期轨线分支曲面,同宿轨分支曲面与2重周期轨线分支曲面的交构成了余维2的同宿轨与2重周期轨线分支曲面,同时得到了2个2重周期轨线分支曲面相交融合而成1个余维2的3重周期轨线分支曲面,指出了对任意k<n,2~n-同宿轨线和2~k-周期轨线的共存性和相应的倍周期分支曲面的存在性,并给出了完整的分支图. 很多具有实际应用背景的动力系统都存在着异维环,异维环的分支问题的研究也有着很重要的理论意义([47,48]).第三章研究了3维反转系统中的通有的异维环的分支问题,给出了同宿轨线分支、周期轨线和2重周期轨线分支的存在性条件和相应的分支曲面,并且还证明了异维环可以同时分支出1条周期轨线和1条同宿轨线. 第二章和第三章的研究方法相同,都是通过构造Poincar(?)映射来求得分支方程.首先在平衡点的小邻域内选取两个同宿或异宿轨线的横截面,在平衡点小邻域内给出具有尽可能多的不变流形被局部拉直的规范型表达式,再利用指数二分法以及推广的Floquet方法在同宿或异宿轨线的正则邻域建立局部活动坐标系,然后再复合导出Poincar(?)映射,从而获得后继函数和分支方程.这种方法是由文献[29,33]引入,并由文献[35,36]等作者改进而来的.与其它研究方法相比,本文采用的方法可以研究很广泛的分支问题,而且分支方程具有较强的可计算性. 第四章研究了弱耦合非线性Schr(?)dinger系统.运用二次扰动方法(第一次扰动运用Melnikov分析方法,第二次扰动运用不变流形的横截相交性),证明了原系统的动力学系统在小参数扰动下可以分支出许多不同的异宿轨线,其中包括多条单独的异宿轨线和一个2维异宿流形.运用贝克隆(b(?)cklund)变换和Lax对求得未扰NLS方程具有同宿于平面周期波解的大范围的同宿轨线和连接由平衡点构成的奇异环上某两个平衡点的异宿轨线族.在获得奇异环面邻域内的不变流形的基础上,我们导出了耦合NLS方程的Melnikov函数的明确表达式.最后证明了扰动NLS系统在无限维解空间中存在非平凡的同宿轨线,并进一步在通有条件下得到了混沌的存在性.
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:O175

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【参考文献】
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