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p-Laplace方程的奇异极限

张艳  
【摘要】: 本文主要考虑含p-Laplace算子的拟线性Neumann问题:的极小解当p→1,λ→∞时的奇异极限,其中Ω(?)R~n为光滑有界区域,n≥2,1pn,1qnp/n-p,v是(?)Ω的单位外法向,λ0为一参数。对(?)∈W~(1,p)(Ω),(?)≠0,定义:特别的,当p=1时,其中∫_Ω|D(?)|dx表示(?)在Ω上的全变差。 我们知道当1pn时,这一有着丰富的数学物理背景的方程近年来已被广泛研究,关于方程极小解的奇异极限问题也已有一些讨论。然而据作者所知,尚未有文献对p=1且λ→∞时的情形有过讨论。因此本文着重讨论了这一问题,考察了Q_(1,λ)的极小元当p=1且λ→∞时的渐近性态。得到的主要结论是:定理1设n≥2,1qn/n-1,若u_λ0是Q_(1,λ)的极小元,且‖u_λ‖L~q(Ω)=1,则当λ→∞时,有: (i) u_λ→0 in L~1(Ω),从而有子列u_(λj)→0 a.e., (ii)∫_Ω|Du_λ|dx→+∞,从而Q_(1,λ)→+∞, (iii)‖u_λ‖L~∞(Ω)→+∞。 另一方面,已有的文献大多对1pn的情形进行研究,而对pn时的有关情况所知甚少,为探讨这一问题,本文从n=1,p1的情形入手,考察了上述方程在区间上极小解的存在性、正则性以及奇异极限,得到了一些在高维空间中尚不明确的新现象,以及p→1时与高维情形有一定区别的极小解的Holder模估计。主要的结果是: 定理2假设n=1,q1,I=(0,1),设{u_p}为p1时方程在I内的极小解序列,x_0为I内任意一点。则有: (i)对0Rmin{x_0,1-x_0},存在0τ1,A0,它们均仅依赖于λ,R,使得对1p_j≤3/2,0rR,成立 (ii)(?)1p≤3/2,(?)(a,b)(?)(?)I,对0τ1,存在α(p)=τ/p+2-2/p,以及C=C(a,b)0与p无关,使得 定理3假设n=1,p1,q1,设{u_p}为方程的极小解序列,u_λ为p→1时u_p的奇异极限,若u_p满足则存在M0,使得


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