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《华东师范大学》 2009年
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异维环和癌症模型的分支分析

刘丹  
【摘要】: 本文切合目前微分方程分支理论的研究状况,对连续的高维非线性动力系统分支理论中尚很少涉及却更一般的异维环分支问题进行了较深入的理论分析,并运用分支理论解释了一类癌症模型中出现的分支现象.全文工作共分五章内容. 第一章主要概括了本文研究工作的背景和意义,并简要叙述了研究工作的主要内容.具有异维环的动力系统比较常见(见[66]),这些系统由于异维环的存在往往蕴含着非常复杂的动力学行为,因此对异维环分支问题的研究也有着重要的应用价值和理论意义.本文对于异维环分支问题的研究安排在第二和第三两章.具体地说,在第二章中我们研究了三维空间中非扭曲异维环的退化分支,包括非共振的异维环和具有共振的异维环两种情况.利用文献[114]发展的方法,我们在异维环Γ的正则管状邻域内建立由不变流形的切向量丛和异维环的主法向丛构成的活动标架.由于这样的坐标架本身既继承了相应的不变流形的几何不变性,又延续了系统内在的包括压缩性和扩张性在内的动力学性质,故在此坐标架下由方程在Γ的正则邻域内的解所诱导的解映射(全局映射)就变得格外简洁明了.另一方面通过引入Shilnikov坐标变量([22])和局部标准型给出了扰动系统在平衡点邻域内由解所诱导的局部映射.复合两次所得映射,得到了Γ附近的Poincar(?)映射和相应的分支方程. 对于退化的非扭曲异维环,通过求解高度退化的分支方程,我们得出了相当丰富的分支结果,其中包括一族异维环分支曲面的存在,这个结论是等维异宿环的分支所不具有的,从而揭示了异维环与等维环在分支性态方面存在着很大的差别.本章还给出了非共振情形下完整的分支图. 以上所用方法后来经文献[51]等改进后,适用范围更广泛,而且分支方程的求解比较容易实现.第三章就是将推广后的方法运用到四维非线性系统中具有强倾斜翻转的非通有异维环的分支研究上.强退化分支方程的解证实了在该类异维环的各种分支样式中包含异维环和同宿环的共存性,异维环和周期轨的共存性以及连接不同鞍点的同宿环的共存性等等,其结果远远比三维的异维环或者高维的非异维环的情况丰富,充分体现了具有异维环的高维系统动力学行为的极端复杂性. 癌症模型中的分支应用在第四章和第五章可见,第四章考虑由淋巴细胞和癌细胞相互作用的二维癌症模型在退化的正平衡点附近的分支情况.经过平面的分支理论分析我们得出,无论有无血管生成,退化平衡点经系统参数的小扰动都将发生余维2的Bogdanov-Takens分支.本文的理论结果更正了已有的关于退化平衡点附近轨道走向的错误结论([1,68]).第五章讨论三维癌症模型中Hopf分支点处的退化性,并运用高维Hopf分支定理给出了Hopf分支发生的可能性.然后利用一个适用的Hopf分支公式([49])得出该模型从Hopf分支点分支出稳定极限环的充分条件,从而证明了2-阶段癌症模型中存在稳定的周期振荡现象.详尽的数值模拟进一步支持了癌症模型中分支理论的正确性.
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O175.12

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