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《华东师范大学》 2010年
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几类约束矩阵方程问题的理论与计算

蔡静  
【摘要】: 约束矩阵方程问题是指在一定的约束矩阵集合中求矩阵方程(组)的解.其研究是近年来数值代数研究领域的重要课题.本文研究以下几类特殊约束矩阵方程问题的理论与计算. 1.两类线性约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题的迭代算法 提出了求线性矩阵方程组:A1XB1=C1,A2XB2=C2的(最小二乘)双对称解的迭代算法;从算子角度,将十余种常见的矩阵结构约束(如对称、中心对称、自反等)划归为一类特殊的算子约束.针对一般形式的线性矩阵方程组,提出了求这一类特定算子约束(最小二乘)解的迭代算法.在不计舍入误差的前提下,所提出的算法均可在有限步内获得上述线性矩阵方程(组)相应的约束(最小二乘)解,并可解决其最佳逼近问题. 2.非线性矩阵方程:Xs+A*X-1A=Q的Hermitian正定解 深入研究了非线性矩阵方程:Xs+A*X-tA=Q(s,t为正整数)的定解理论和数值算法.利用矩阵分解原理给出了方程存在Hermitian正定解的两个充分必要条件.给出了方程仅有两个解的充分条件及解的计算公式.研究了AQ(?)=Q(?)A情形下,方程可解的必要条件和解的特性.分析了固定点迭代算法的收敛性,给出了单调收敛条件.此外还考虑了s≥1,0t≤1或0s≤1,t≥1的情形,给出了方程存在Hermitian正定解的充分条件和必要条件.探讨了解的特性,并提出了计算其极端解的免逆迭代算法. 3.非线性矩阵方程:Xs-A*X-1A=Q的Hermitian正定解 研究了非线性矩阵方程:Xs-A*X-1A=Q (s,t为正整数)的Hermitian正定解.证明了解的存在性.给出了方程存在唯一解的充分条件.获得了解范围的最新估计.进行了解的扰动分析,导出了一般解和唯一解的扰动界. 4.非对称代数Riccati方程的极小非负解 分析了当非对称代数Riccati方程的四个系数矩阵构成一个非奇异M-矩阵或奇异不可约M-矩阵时,方程极小非负解的敏感性.基于不变子空间的扰动性质,导出了极小非负解在任意酉不变范数意义下的扰动界,并获得了条件数的显式表达式. 5.TLS问题和LS问题解的相关量比较 在TLS问题和LS问题解残量的比较基础上,在更一般情形下,对TLS问题和LS问题解的加权残量进行了比较.导出了TLS解、改进的LS解及普通LS解加权残量之间的误差界,进一步完善了已有的相关结果.
【学位授予单位】:华东师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O241.6

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【参考文献】
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