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加权Toeplitz最小二乘问题的预处理算法

任晓莲  
【摘要】: 由Toeplitz矩阵作为系数的线性方程组出现在许多不同的应用中.目前已经有许多有效的计算方法用于求解这类含有Toeplitz结构的问题中,但这些方法对于含有Toeplitz矩阵结构的加权最小二乘问题并不适用.本文主要考虑加权Toeplitz最小二乘问题的预处理迭代算法.在图像还原和非线性图像恢复中都会遇到这类最小二乘问题.在实际问题中,矩阵的规模通常会很大,由于加权Toeplitz最小二乘问题本身的特点,其正规方程的系数矩阵的置换秩会很大,在求解这类问题时,现有的预处理子的效果并不是理想,所以需要寻找新的预处理子,改变原系数矩阵的条件数和谱分布,从而提高迭代算法的收敛速度.如何构造有效的预处理子是目前数值代数领域的热门研究课题. 本文首先将加权Toeplitz最小二乘问题转化成一个等价的鞍点问题,然后研究基于对称与反对称分裂的预处理子的构造和性质.通过引入不同的参数使得算法具有更多的灵活性,并且通过选取最优参数使得算法具有更快的收敛速度.同时本文还对预处理后的矩阵进行了理论分析.最后我们对新提出的预处理子进行了数值试验.数值结果表明,这类预处理子具有较好的数值效果.


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