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《上海师范大学》 2016年
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变分不等式与非线性算子方程的逼近

邱洋青  
【摘要】:本学位论文主要研究无限维实Hilbert空间背景下几类新的变分不等式(系统)、不动点、非线性算子方程及它们的公共解问题。本文分别利用投影算子技巧、Wiener-Hopf方程组技巧、辅助原理技巧和强正有界线性算子技巧,改进了Mann迭代方法、混合方法、外逼近方法、外梯度方法和粘性迭代方法,构造了几种新的迭代算法,并证明了迭代序列的收敛性。其结果改进、推广与补充了之前文献中相应的结果。全文共分五章。第一章,介绍了变分不等式和非线性算子方程的研究背景,回顾了文中将要用到的一些基本概念和基本理论,并简述了本文的主要工作与结构安排。第二章,研究了一类新的广义集值非线性隐拟变分不等式系统问题。首先,证明了广义集值非线性隐拟变分不等式系统问题分别等价于相应的不动点问题和Wiener-Hopf方程组问题。其次,利用投影算子技巧和Wiener-Hopf方程组技巧,构造了两种新的迭代算法。最后,证明了广义集值非线性隐拟变分不等式系统问题解的存在性和迭代序列的收敛性。这是首次利用Wiener-Hopf方程组技巧求解变分不等式系统问题。通过比较这两种方法所得到的结果,表明Wiener-Hopf方程组技巧比投影算子技巧更一般。第三章,基于第二章,利用辅助原理技巧,研究了一类新的广义集值强非线性混合隐拟似变分不等式系统问题。首先,证明了相应的辅助变分不等式系统问题解的存在性。然后,利用这个解的存在性结果,构造了一个新的迭代算法。最后,证明了原问题解的存在性和迭代序列的收敛性。这是对Noor等(Korean J.Comput.Appl.Math.1998,1:73-89;J.Comput.Appl.Math.1993,47:285-312)提出的公开问题做的肯定的回答。第四章,为了寻找两族有限极大单调映射的公共零点集、非扩张映射的不动点集和具单调Lipschitz连续映射的变分不等式解集的公共元问题,介绍和研究了一种新的一般混合迭代算法。该算法基于以下列四种著名的方法:Mann迭代方法、混合方法、外逼近方法和外梯度方法。证明了公共元的存在性和迭代序列的强收敛性。本章的结果极大地推广和改进了文献[Wei L.,Tan R.L.Fixed Point Theory and Applications.2014,77(1)]中相应的结果。第五章,基于第四章的内容,首先利用强正线性有界算子技巧,构造了一种新的广义Mann型混合复合外梯度CQ迭代算法。然后利用这个算法,找到了具单调Lipschtiz连续映射的变分不等式的解集,两族有限极大单调映射的零点集,依中间意义渐近κ-严格伪压缩映射的不动点集的公共元。最后,证明了公共元的存在性和迭代序列的强收敛性。
【学位授予单位】:上海师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O177.91

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