单参数非线性问题高阶奇异点的计算及一类反应扩散方程组的分歧分析

【摘要】： 非线性分歧问题最早起源于杆件在纵向压力作用下的屈曲和失稳问题。早在十八世纪，Euler和Bernoulli就研究过，故称为Euler-Bernoulli问题。此问题是少数能写出分歧解的解析表达式的非线性分歧问题之一。 近几十年来，随着更加精确地描述和解决实际问题的需要，随着数学研究本身的进展以及大型计算机的出现和完善，各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的重视和兴趣。分歧理论是非线性问题研究中的重要一环，近一、二十年来得到了突飞猛进的发展，可以说是成果斐然，方兴未艾。扩展方程方法是数值求解分歧问题的首选方法，这种方法的基本思想是通过引入新的方程来扩展原来的非线性方程，从而消除分歧问题的奇异性。这种方法有几个优点，使它成为分歧问题研究领域的一个重要的，甚至是不可缺少的方面军。它的第一个优点是直接处理高维甚至无穷维问题。它的第二个优点是可以将许多复杂的高阶分歧问题化为简单的低阶分歧问题。它的第三个优点是其结果常常可以直接用于计算机上的数值计算，或为数值计算提供重要而有用的信息。 我们的研究工作从两个方面展开，一方面考虑单参数的非线性问题，提出一种普适的扩展系统，给出了计算各类高阶奇异点的一个统一算法。另一方面考虑发育生物学中一类反应扩散方程组，这类问题出现在胚胎发育中的图案形成过程中。大致来说，文章由以下几个部分组成。 首先考虑单参数非线性问题，如果参数的个数足够多，在延拓过程中通过求解各种正则的扩展系统可以求出方程解枝上存在的各种高阶奇异点，例如高阶折叠点、横截式分歧点、音叉式分歧点等。如果在方程中参数不够多，例如许多具体非线性问题中只有一个参数，上述正则扩展系统方法就碰到了困难。另一个困难是高阶奇异性在没有计算以前是不清楚的，而不同的高阶奇异点要用不同的正则扩展系统来计算，所以选取何种正则扩展系统就成了问题。为了克服正则扩展系统方法的缺点，我们提出确定奇异性的普适扩展系统，结合同伦参数的拟弧长延拓，给出了计算各类高阶奇异点的一个统一算法。并且讨论了原问题中的n阶折叠点、n阶音叉式分歧点和横截式分歧点与普适扩展系统中的高阶奇异点的关系。用一些数值例子验证了算法的有效性。 然后考虑发育生物学中一类反应扩散方程组，在分歧点附近利用Liapunov-Schmidt约化技巧，得到了从平凡解分歧出来的随参数变化的非平凡解枝以及它们的近似解析表达。 最后我们对具体例子进行了数值计算，近似解和数值解的相符表明了分歧分析的有效性。