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无界区域问题和外部问题的区域分解谱方法及其应用

王天军  
【摘要】: 近三十年来,谱方法蓬勃地发展起来,为数值求解偏微分方程提供了又一个强有力的工具。谱方法的主要优点是高精度,从而被广泛应用于计算流体力学、数值天气预报、海洋工程、化学反应数值模拟和量子力学计算等。已有的谱方法一般适用于周期问题和有界区域问题,然而,科学和工程中的许多问题可归结为无界区域问题或外部问题。求解这类问题的方法之一是设定一个人工边界,加上人工边界条件,然后在有限子区域中用通常的方法计算,例如差分法、有限元方法或者有界区域上的谱方法等。但是,这种截断区域的办法会导致相应的误差。因此需要研究直接计算无界区域和外部区域问题的高精度算法。本文研究无界区域和外部区域问题的区域分解谱方法,其理论基础是以无界区域中的正交多项式或正交函数系为基底的正交和插值逼近理论,并伴随区域分解法。 本文由以下四部分组成。在第一章中,我们简单回顾已有的无界区域问题的数值方法,特别是无界区域和外部问题谱方法研究的进展情况。我们概述了本文研究工作的动机、困难和所得到的主要结果,以及本文的结构。 在第二章中,我们介绍一些一维Laguerre正交逼近和一维Legendre正交逼近的基本结果。我们将以带参数β的Laguerre正交函数和Legendre正交多项式为基函数,来逼近无界区域和外部区域问题的解,并通过参数β的适当选择,使得数值解更好地吻合精确解的渐近行为。 在第三章中,我们研究无穷带状区域上Fokker-Planck方程的高精度数值方法,它是非标准类型的偏微分方程。在已有的文献中,对一维问题采用Hermite谱方法,对二维问题采用Hermite谱-差分混合方法,但限制了解的精度,见[12, 60]。一个赋有挑战性的问题是如何应用谱方法计算Fokker-Planck方程,从而得到高精度数值解。这个问题主要有以下几方面的困难:第一,它在一个自变量方向类似抛物型方程,而在另一个自变量方向类似双曲型方程。因此,我们不能用通常的方法构造合理的谱格式和分析数值误差;第二,其解在不同的子区域上满足不同类型的边界条件,因此不能应用统一的基函数;第三,方程中的某些系数在原点退化,而在无穷远处趋向无穷大,这给实际计算和数值分析带来许多困难。为克服上述这些困难,我们首先建立一维区域上以Laguerre函数为基底的拟正交逼近和Legendre拟正交逼近理论,然后在各个子区域上建立一些特殊的Laguerre-Legendre混合谱逼近理论。它们结合区域分解方法有机地组成了无穷带状区域上Laguerre-Legendre混合的谱逼近理论。在这些结果的基础上,我们构造了Fokker-Planck方程的Laguerre-Legendre混合谱格式,证明了它的收敛性,并在空间方向上有谱精度。数值例子显示了该算法的优越性,并和理论分析相吻合。为了简化计算,我们还考虑相应的拟谱方法。我们发展了一维区域上的以Laguerre函数为基底的Laguerre-Gauss-Radau插值逼近和Legendre-Gauss-Radau插值逼近理论,并在此基础上建立各个子区域及整个无穷带状区域上Laguerre-Legendre混合插值逼近理论。应用这些结果,我们构造了Fokker-Planck方程的Laguerre-Legendre混合拟谱格式,证明了它的收敛性及其在空间方向上的谱精度。数值例子同样表明了该算法的有效性和高精度。与相应的谱方法相比较,拟谱方法在实际计算中更简单、更节省计算时间。 在第四章中,我们研究二维外部区域问题的区域分解谱和拟谱方法。文献[25, 56, 57]给出了有关一维问题区域分解谱方法的一些结果。在文献[27, 29, 36]中,研究了圆外或球外问题谱方法,然而更困难也更有实际意义的问题是带有多角形障碍物的外部问题,至今尚未见到任何结果。计算这个问题的困难之处在于:如何在各子区域上合理逼近所讨论的问题?如何在两个相邻子区域的公共边界上匹配数值解?如何在空间方向上保持解的整体谱精度?如何估计整体数值误差?为解决这些困难,我们先研究一维区域上的有关Laguerre拟正交逼近和Legendre拟正交逼近,然后在不同的子区域上分别建立一些特殊的Laguerre-Legendre混合逼近和二维Laguerre逼近方法,并在此基础上,建立整个外部区域上的Laguerre-Legendre混合逼近理论。应用这些结果,我们构造两个模型问题的区域分解Laguerre-Legendre混合谱格式,证明了该方法的收敛性及其在空间方向上的谱精度。在实际计算中,我们构造了两类特殊的基函数,简化了计算。数值例子显示了该算法的有效性并与理论分析相一致。我们还发展了一维区域上以Laguerre函数为基底的Laguerre-Gauss-Radau插值逼近和Legendre-Gauss-Lobatto插值逼近理论,并给出各个不同子区域及整个外部区域上的混合插值逼近方法。在这些结果的基础上,我们构造了两个模型问题的Laguerre-Legendre混合拟谱格式,证明了它的收敛性及其在空间方向上的谱精度。数值例子同样表明了该算法的有效性和高精度,并比谱方法更简单、更节省计算时间。 本文有关逼近结果丰富与发展了有关谱方法的理论及其应用,特别是区域分解谱方法。文中采用的技巧同样适用于无界区域上的其它偏微分方程和外部问题的数值求解。


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