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有界变量约束非线性方程组的仿射共轭梯度路径法

张勇  
【摘要】: 最优化理论与方法是一门应用性很强的学科,它研究如何从某些实际问题的众多可行方案中找出最优的方案。最优化技术在国防、工农业生产、交通运输、金融、贸易、管理、科学研究等许多领域中有着广泛的应用。随着计算机的发展,最优化理论和算法在实际应用中正发挥着越来越大的作用。 共轭梯度法是最优化中常用的方法之一,它具有运算简便、只需一阶信息,以及存储空间小等优点,共轭梯度法已成为求解大规模问题的一种主要方法。Bulteau与Vial在[1]中构造了无约束最优化问题的共轭梯度路径,其基本思想是将标准共轭方向法应用于无约束优化目标函数的局部二次近似模型,使用完全的一组共轭方向序列的线性组合定义路径。在本文中,引入另一类仿射矩阵,并通过建立合适的二次模型,构建出仿射内点离散的共轭梯度路径法来求解有界变量约束非线性方程组。此方法只需部分共轭梯度法解每次迭代的近似二次模型,减少了计算步骤,从而提高了算法的运行效率。在合理的假设下,证明了算法的整体收敛性和局部超线性收敛速率,数值结果表明了所提供的算法的有效性和可行性。 本文又提出了不精确牛顿仿射共轭梯度法求解有界变量约束的非线性方程系组问题,对于非线性方程组的求解,经典的的求解算法是牛顿法,此方法在初始点足够接近解时具有良好的收敛性,然而在实际计算中对每一步迭代线性方程组的精确运算往往是困难的,不精确牛顿法通过每步迭代方程组的近似求解,从而在一定程度上克服了这一弱点。鉴于不精确牛顿法这一特性,将其与仿射内点离散的共轭梯度路径法相结合。通过预条件共轭梯度法得到一系列共轭方向,然后通过不精确牛顿法来检验来找到一个下降方向,再结合非单调技术得到下一步迭代公式。通过证明,此方法是可行的。 最后,对本文的工作进行总结,并进一步提出研究方向。


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