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几类广义变分不等式解的不动点算法

王元恒  
【摘要】:本PhD论文应用逼近不动点迭代方法,分别在Hilbert空间、Banach空间框架下,通过研究相应构造格式的收敛性,逼近求出算子方程的不动点,即得到了几类变分不等式的解的存在性和求法.在具体迭代过程中,结合了Banach空间几何学理论、临界点理论、变分原理、Banach空问中非线性逼近理论、不动点理论等现代分析的理论与方法,应用度量投影、广义投影、预解算子方程等工具和手段,研究了几类变分不等式(变分包含)解的Mann-Ishikawa迭代法、Hybrid方法、Halpern迭代法、逐次逼近法及其新变型迭代格式的收敛性。其结果创新、改进、推广了许多作者近年来的相应结果。具体内容如下: 1.第三章,首先在Hilbert空间中应用度量投影算子,研究了迭代逼近非扩张映像不动点集和逆强单调映像变分不等式解集的公共元素的方法;考虑了保证强收敛性的条什,以及相应于非扩张算子.S,度量投影算子P_Ω和强迫集Ω的逼近扰动的稳定性;证明了迭代序列{x_n}强收敛到上述的不动点集和变分不等式解集的公共元素。其次,我们把Hilbert空间中的部分结果推广到一致凸和一致光滑的Banach空间中,同样应用度量投影算子,通过构造一个新的迭代序列{x_n},得到了一个关于非扩张映像的迭代逼近强收敛定理。 2.第四章,第一个主要结果是应用Banch空间中的广义投影算予、半闭原理和数学规划中的hybrid方法,建立了渐近伪压缩映像变分不等式的强收敛定理。第二个结果是在Banch空间中,研究了一组相关的有限族非扩张映像公共不动点的迭代格式的强收敛性,其方法仍然是应用崭新的广义投影算子和数学规划中的hvbrid方法。第三个结果是在Banch空间B中,应用广义投影算子和变形的逐次逼近法、变形的Mann迭代法,研究了称之为渐近弱压缩映像的非自映像T:G(?)B→B的迭代过程的强收敛性。 3.第五章,首先我们在Hilbert空间应用三类新的算法,建立了一组无限Lipschitz伪压缩映像族变分不等式的强收敛定理。其次,我们在Banach空间中应用预解算子方程,研究了无限族广义集值拟变分包含的解的存在性和逼近问题。


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