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《南京大学》 2011年
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基于多种指示子的杂交WENO格式

李刚  
【摘要】:求解非线性双曲守恒律方程和对流占优问题的WENO (weighted essentially non-oscillatory)格式具有精度高,同时保持稳定的、本质无振荡的和陡峭的间断过渡等优点,特别适合含有强激波和复杂光滑解结构的问题。WENO格式是鲁棒的,并且不需要人为参数。这些优点使得WENO格式迅速发展成为计算流体力学的主流方法之一,并已成功应用到下列领域:计算天文学、半导体器件模拟、计算生物学、交通流模型。有限差分WENO格式的主要思想是将各个候选模板上的低阶数值流通量逼近加以组合以得到高阶逼近。分配给每个候选模板的权(网格点值的非线性函数),是有限差分WENO格式成功的关键所在。对于方程组,WENO格式须借助局部特征分解步骤和流通量分裂以避免数值振荡。但是非线性权计算和局部特征分解步骤的成本是很高的,并且随着方程个数和空间维数的增加,计算成本增加趋势更加明显。这使得研究高效WENO格式显得尤为必要,而且目前这方面的研究还相对较少,所以本文选取它作为研究内容。 本文主要研究杂交WENO格式,将WENO重构(使用非线性权)与简单的迎风线性重构(使用线性权)相结合,其主要思想是在间断区域使用WENO重构捕捉间断,而在光滑区域使用高效的迎风线性重构,以避免使用非线性权和局部特征分解步骤。从而达到在保持WENO格式原有良好性质的同时,节省计算成本的目的。由于WENO重构与线性迎风重构关系密切,所以与其它杂交WENO格式相比较,本文中的杂交WENO格式在思想上更加直接,并且两种重构的精度匹配更加一致,所以数值流通量更加光滑。杂交WENO格式的一个重要组成部分,是能够自动、准确捕捉“坏单元”(包含间断的单元)的指示子。在本文中我们主要借鉴DG (discontinuous Galerkin)有限元方法中的限制器,来构造适用于有限差分方法的坏单元指示子,通过大量的数值试验,为杂交WENO格式设计和挑选出实用的坏单元指示子,使得基于这些指示子的杂交WENO格式在保持原WENO格式的良好性质的同时,还比原WENO格式具有更高的计算效率,使得杂交WENO格式更具有实际应用价值。 我们首先针对一维可压缩Euler方程,利用经典的数值算例测试了基于九种不同坏单元指示子的杂交WENO格式,挑选出四种表现较好的指示子:ATV、TVB、MR和KXRCF,因为这些指示子在CPU时间、数值解误差以及数值流通量逼近过程中WENO重构使用百分比方面都优于其它指示子。 随后,我们将基于这四种指示子的杂交WENO格式推广到Burgers方程、多维Euler方程,数值试验结果令人满意。 针对带有源项的双曲守恒律方程:浅水波方程和浅水中污染物输运方程,我们设计了基于指示子的杂交well-balanced WENO格式。理论分析和数值试验皆表明杂交well-balanced WENO格式能够保持精确守恒属性,该属性对于流通量梯度与源项之间的平衡显得至关重要。 为了更好地处理一般物理区域,我们首先对物理区域进行曲线网格剖分,然后借助坐标变换,将一般物理区域映射为笛卡尔计算区域,同时将物理区域中的曲线网格映射为计算区域中的一致网格。接下来把物理空间中的基本方程变换到计算空间中,最后我们把杂交WENO格式推广到计算空间中的基本方程上。数值结果十分理想。 大量的多维问题、不同类型问题以及基于不同网格的数值算例,表明基于ATV、TVB、MR以及KXRCF指示子的杂交WENO格式在保持WENO格式原有良好属性的同时,能够较可观地节省计算成本,提高计算效率。 总之,基于ATV、TVB、MR以及KXRCF指示子的杂交WENO格式是高效的、鲁棒的。
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