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极值和染色问题的一些新结果

胡小兰  
【摘要】:图论是离散数学的一个重要的分支,它在生产管理,军事,交通运输,计算机科学与技术,通信工程等领域都有着广泛的应用.1736年,Euler[14]发表的关于Konigsberg七桥问题的论文是图论领域的第一篇文章.后来,一些著名的图论问题相继被提出,如四色问题和中国邮递员问题等等.1878年,Sylvester[98]在《自然》上的一篇论文中首次提出了“图”这一名词.1936年,Konig[71]出版了第一本图论专著《有限图和无限图理论》,从此图论成为数学的一个独立的分支.一个图G定义为一个二元组(V(G),E(G)),记为G=(y(G),E(G)),其中V(G)是一个非空有限集,称为图G的顶点集;E(G)是定义在V(G)上的二元关系,称为图G的边集.本文所涉及到的图指的均是简单有限无向图.图G的补图用G来表示.我们分别用△(G)和δ(G)表示图G的最大度和最小度.图G的平均度为2|E(G)|/|V(G)|.图G的最大平均度mad(G),为G的所有子图的平均度的最大值.如果能将图G画在平面上,使得它的边仅在端点处相交,则称G是可平面图.本文主要研究图的极值问题和染色问题.在第一章,我们介绍了本文要用到的一些基本概念和符号.然后,对本文涉及到问题的背景,进展以及已知结果给出一个比较全面的综述.在本论文的第一部分(第二章,第三章和第四章),我们考虑与树的存在性相关的一些极值问题.极值图论是图论研究的一个重要领域,它起源于1941年Turan的文章[101].在该篇文章中他得到了不包含r阶完全图Kr的n阶图的最大边数,并确定了相应的极图.1978年,Bollobas[15]的关于极值图论问题的专著《极值图论》的问世标志着极值图论的研究已形成相对完整的理论.1998年,Chung和Graham[31]的著作搜集了Erdos在极值图论和图论其他课题中提出的尚未解决的问题,将极值图论的研究推向了一个新的高度.树是极小的连通图,是一类简单而又重要的图.1847年,Kirchhoff为了解电网络中一类线性方程组而提出了树这一概念,见[97].1857年,Cayley[25]在研究给定碳原子数为n的饱和碳氢化合物CnH2n+2的同分异构体时也发现了树,并提出了树的计数问题.此后,树在化学领域中发挥着日趋重要的作用.随着计算机科学的发展,树广泛应用于数据结构中,比如二叉查找树,堆,Trie树以及Huffman树等等.树是图的连通性理论中重要的子结构,一个图是连通的当且仅当其有支撑树.我们考虑的问题是:在什么条件下,图G包含所有的k阶树?显然,若δ(G)≥k-1,则G包含所有的k阶树.若δ(G)≥k-1,则G中的边分布较为均匀.若不考虑G中边的分布情况,G的平均度大于k-2,G能否包含所有的k阶树?设G为平均度大于k-2的n阶图,则△(G)≥k-1,那么G包含k阶星Sk.1959年,Erdos和Gallai[44]证明了G包含k阶路Pk.在此基础上,1965年,Erd6s和Sos[42]提出了如下猜想:Erdos-Sos猜想设G是一个n阶图.若G的边数e(G)n(k-2)/2,则G包含所有的k阶树.若δ(G)≤k-2但G至少有一半顶点的度至少为k-1,G能否包含所有的k阶树?Loebl猜想若G至少有一半顶点的度至少为n/2-1,则G包含所有的n/2阶树.Komlos和S6s把这个猜想推广到一般的k,见[43].Loebl-Komlos-Sos猜想设G是一个n阶图.若G至少有n/2个顶点的度至少为k-1,则G包含所有的k阶树.这两个猜想现在仍然没有被解决.在Bondy和Murty的著作《图论及其应用》中,Erdos-S6s猜想被列为尚未解决的问题12;在此书的第二版中,Erdos-S6s猜想被列为尚未解决的问题31,见[17,18].由此看来,要完全解决Erd6s-S6s猜想是非常困难的.在[70]中,Komlos和Simonovits指出Loebl-Koml6s-S6s猜想并不比Erdos-S6s猜想简单.在第二章,我们对Erdos-S6s猜想进行了研究.在2.1节,我们利用G中任意两个不相邻的顶点没有公共的非邻点,证明了若G的独立数为2,则Erdos-S6s猜想成立.这个结果改进了Li, Liu和Wang在文章[75]中的结果.在2.2节,我们利用可平面图的拓扑性质,证明了若G为可平面图,则Erdos-S6s猜想成立.此外,我们证明了若G为k+5阶可平面图,则百包含所有的k阶树.在第三章,我们对Loebl-Komlos-S6s猜想进行了研究,证明了若G的独立数为2,则Loebl-Komlos-S6s猜想成立.设G为n阶可平面图,由欧拉公式,我们有δ(G)≤5.Brinkmann和McKay[20]证明了若n≥12且n≠13,则存在最小度为5的n阶可平面图.在2.2节我们证明了若G为k+5阶可平面图,则G包含所有的k阶树.若k≥8且k≠9,则存在最小度为5的k+4阶可平面图G.由于△(G)=k-2,因而G不包含Sk,故界k+5是紧的.对任意给定的k阶树Tk≠Sk,界k+5是否仍然是紧的?特别地,对任意给定的Tk,若可平面图G不包含kl,界k+5是否仍然是紧的?G的最小阶数使得若G不包含kl,则G包含Tk即为Kl对Tk的平面Ram-sey数PR(Kl,Tk).设G1和G2为图,G1对G2的平面Ramsey数PR(G1,G2)为最小的正整数N使得任意N阶可平面图G,若G不包含G1,则G包含G2.Chvatal[32]证明了R(Km,Tn)=(m-1)(n-1)+1,其中Tn是任意的n阶树.在第四章,我们利用极大可平面图的拓扑性质和连通度等性质,确定了完全图对树的平面Ramsey数.在本论文的第二部分(第五章和第六章),我们研究两个加了某些限制条件的染色问题.图的染色理论起源于十九世纪中叶的四色问题,是图论研究的的传统领域之一.染色理论不仅具有重要的理论意义,而且具有很强的应用背景[67].它在组合最优化,交通流,网络设计和计算机理论等方面有着重要的应用.图的染色理论内容十分丰富,除了经典的点染色,边染色以及全染色以外,还有在此基础上添加其他约束所产生的一些特殊染色问题.设A表示k个颜色的集合.图G的一个k-点染色是从V(G)到A的一个映射φ.若G中相邻的顶点染不同的颜色,则称φ为正常的.图G的色数χ(G),为最小的整数k使得G有正常的k-点染色.对任意的图G,有χ(G)≤△(G)+1.由Brooks定理[21]知,若G既不是奇圈又不是完全图,则χ(G)≤△(G).图G的一个k-边染色是从E(G)到A的一个映射φ.若G中相邻的边染不同的颜色,则称φ为正常的.图G的边色数χ'(G),为最小的整数k使得G有正常的k-边染色.由Vizing定理[103]知,△(G)≤x'(G)≤△(G)+1.图G的一个k-全染色是从V(G)∪E(G)到A的一个映射φ.若G中相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色,则称φ为正常的.图G的全色数χ"(G),为最小的整数k使得G有正常的k-全染色.显然,χ"(G)≥△(G)+1.Molloy和Reed[77]证明了χ"(G)≤△(G)+1026.Vizing[103]和Behzad[12]分别独立给出了如下的全染色猜想:对任意的图G,有χ"(G)≤△(G)+2.Vijayaditya[102]和Rosenfeld[84]分别独立证明了△(G)≤3时,全染色猜想成立;Kostochka[72,73]证明了当△(G)=4,5时,全染色猜想成立;而当△(G)≥6时全染色猜想是否成立至今仍未得到证明.设φ是图G的边染色(或者是全染色),接下来我们考虑由与v相关联的边的颜色组成的集合或者加和(或者是由与v相关联的边的颜色和u的颜色组成的集合)导出的点染色问题.设φ为图G的一个正常的k-边染色.我们用Cφ(v)表示与点v相关联的边的颜色的集合,则映射φ:v→Cφ(u)是G的一个点染色,称为由φ导出的点染色.若φ为正常的,则称φ为G的k-邻点可区别边染色.图G的邻点可区别边色数χ'α(G),为最小的整数k使得G存在k-邻点可区别边染色.若G有邻点可区别边染色,则G没有孤立边.由于G的任意一个邻点可区别边染色也为G的正常的边染色,故xa'(G)≥x'(G).若G有相邻的最大度点,则χ'α(G)≥△(G)+1.2002年,Zhang,Liu和Wang[123]提出了邻点可区别边染色的概念并提出了如下猜想.EAVD猜想对于任意阶数至少为6的连通图G,xa'(G)≤△(G)+2.Hatami[53]利用概率的方法证明了若△(G)1020,则xa'(G)≤△(G)+300. Akbari,Bidkhori和Nosrati[4]证明了χ'α(G)≤3△(G).Zhang,Wang和Lih[124]把这个界改进到了5(△(G)+2)/2.Balister等人[7]证明了χ'α(G)≤△(G)+O(logx(G)).下面我们考虑更强的染色.设A:={1,2,...,k}表示k个颜色的集合且φ为图G的一个正常的k-边染色.我们用wφ(v)表示与点v相关联的边的颜色的加和,则映射φ:v→ωφ(v)是G的一个点染色,称为由φ导出的点染色.若φ为正常的,则称φ为G的k-邻和可区别边染色.图G的邻和可区别边色数χ'∑(G),为最小的整数k使得G存在k-邻和可区别边染色.若G有邻和可区别边染色,则G没有孤立边.由于G的任意一个邻和可区别边染色也为G的邻点可区别边染色,故x'∑(G)≥x'a(G).2013年,Flandrin等人[47]研究了圈,树,完全图,完全二部图的邻和可区别边色数,并提出了如下猜想:ENSD猜想设G是一个阶数至少为3的连通图.若G≠G5,则χ'∑(G)≤△(G)+2.Flandrin等人[47]证明了χ'∑(G)≤Przybylo[82]利用组合零点定理证明了x'∑(G)≤2△(G)+Col(G)-1≤3△(G),其中col(G)是图G的染色数,定义为使得G有一个每个顶点的前面只能有少于k个邻点的点排序的最小整数k.最近,Przybylo[83]给出了χ'∑(G)的一个渐进上界并证明了x'∑(G)≤(1+o(1))△(G).图的邻和可区别边染色和著名的1-2-3猜想有着重要的联系.设A:={1,2,...,k}表示k个颜色的集合,且φ为图G的一个k-边染色.我们用wφ(v)表示与点v相关联的边的颜色的加和,则映射φ:v→χ(v)是G的个点染色,称为由φ导出的点染色.若φ为正常的,则称φ为G的k-边权点染色.2004年,Karonski,Luczak和Thomason[69]研究了图的边权点染色,并提出如下的猜想.1-2-3猜想每个阶数至少为3的图G,都是3-边权点染色的.Karonski,Luczak和Thomason[69]证明了若χ(G)=3,则1-2-3猜想成立.Kalkowski,Karonski和Pfender[68]证明了每个阶数至少为3的图,都是5-边权点染色的.在第五章,我们讨论了图的邻和可区别边染色.设G为没有孤立边的图.在5.1节,我们利用权转移的方法证明了若mad(G)8/3,则x'∑(G)≤max{△(G)+ 1,7};若mad(G)3,则x'∑笔(G)≤max{△(G)+2,7)这个结果改进了Dong, Wang和Zhang在文章[37]中的结果.在5.2节,我们分析了2-退化图的结构性质,证明了若G为2-退化图,则x'∑(G)≤max{△(G)+2,7).2005年,Zhang等人[122]把邻点可区别边染色推广到了邻点可区别全染色.设φ为图G的一个正常的k-全染色.我们用Cφ(v)表示点v的颜色和所有与点v相关联的边的颜色组成的集合,则映射φ:v→Cφ(v)是G的一个点染色,称为由φ导出的点染色.若φ为正常的,则称φ为G的k-邻点可区别全染色.图G的邻点可区别全色数χ"α(G),为最小的整数k使得G有k-邻点可区别全染色.由于G的任意一个邻点可区别全染色也为G的正常的全染色,故χ"α(G)≥χ"(G).若G有相邻的最大度点,则χ"α(G)≥△(G)+2Zhang等人[122]提出了如下猜想.TAVD猜想设G是一个图,则χ"α(G)≤△(G)+3.Zhang等人[122]证明了G为路,圈,扇,轮,树,完全图,完全二部图时,TAVD猜想成立.由图的点染色,边染色和邻点可区别全染色的定义知xa"(G)≤x(G)+χ'(G).由Brooks定理和Vizing定理知,xa"(G)≤△(G)+△(G)+1=2△(G)+1. Huang,Wang和Yan[64]把这个界改进到了2△(G).在第六章,我们讨论了图的邻点可区别全染色,证明了xa"(G)≤x(G)+△(G).这个结果改进了[64]中的结果.此外,我们证明了若χ(G)=3,则TAVD猜想成立.


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