无单元Galerkin方法的研究及应用

【摘要】：无网格方法是一种新兴的偏微分方程数值求解方法,受到了国际科学与工程界学者的高度重视,具有重要的研究价值和应用前景。在已提出的众多无网格方法中,无单元Galerkin(Element-free Galerkin, EFG)方法是被研究最多、应用最广的方法。本文对EFG方法从形函数的构造、本质边界条件的施加、与其他数值方法相结合以及离散线性方程组的求解四个方面进行了系统的研究,提出了一些新方法并应用于二维弹性力学、Poisson方程等问题的计算。 无单元Galerkin方法是一种基于MLS近似的全局弱式无网格方法。MLS近似方法的主要缺点之一是在每个计算点处都需要计算力矩矩阵的逆,这使得计算量大大增加。针对这一缺点,一些学者提出了用加权正交基函数代替一般基函数的方法并被称为改进移动最小二乘近似(IMLS)方法。研究表明IMLS方法比MLS方法有更好的计算效率和计算精度,但不能克服可能产生的病态甚至奇异力矩矩阵。本文基于矩阵理论详细讨论了IMLS近似方法,指出了产生奇异性的原因,并且基于单项式基函数(可以推广到任意基函数),通过矩阵三角化过程,提出了一种新的构造形函数的方法。研究表明使用此算法不仅简单,更能有效地克服力矩矩阵的奇异性。 无网格径向基点插值(RPIM)方法也从本质上来讲也是一种无单元Galerkin方法,它与EFG方法的不同之处在于形函数的构造。RPIM方法中采用径向基函数点插值方法构造形函数,所得到的形函数满足Kronecker delta函数性质,但该方法比EFG方法的计算量大,这主要是由于每个计算点所得到的力矩矩阵的维数比MLS近似方法得到的力矩矩阵的维数大得多。目前在RPIM方法中降低计算量方面的研究很少,本文提出了一种加权节点径向基点插值无网格方法(WN-RPIM).这种方法通过求节点处所产生的力矩矩阵的逆来得到节点系数,再通过节点系数加权得到形函数,所得到的形函数满足Kronecker delta函数性质。与RPIM方法相比该方法大大减少了计算量。几个数值算例验证了该方法的有效性。 MLS近似方法的另一个主要缺点是构造出的形函数一般不满足Kronecker delta函数性质,因而在无单元Galerkin方法中本质边界条件不易施加。本文从求解区域、变分原理、形函数的构造、离散系统方程四个方面出发对已提出的十多种常用的施加本质边界条件的方法进行了总结和分析,并提出了一种EFG-RPIM耦合方法。EFG-RPIM耦合方法可以直接施加本质边界条件且无需如FEM-EFG耦合方法中的过渡区域,因而具有一定的优越性。 无单元Galerkin方法是一种基于全局弱式的无网格方法,由于在整个求解域上都需要积分使得该方法的计算量较大。基于Galerkin法和最小二乘法相结合的Galerkin最小二乘无网格法是传统Galerkin法和最小二乘法的改进,它具有计算量小、精度高等优点,但由于使用了MLS近似方法构造形函数使得本质边界条件需做特殊处理。而径向基函数点插值法具有形式简单、与空间维数无关、各向同性等优点,且由该插值方法构造的形函数具有Kronecker delta函数性质,因而本质边界条件易于施加。本文结合各自的优点,提出了基于径向基函数的Galerkin最小二乘无网格法。这种方法具有本质边界条件易于施加、精度高、稳定性好等优点。 研究表明EFG方法中用增广Lagrange乘子法施加本质边界条件具有较高的精度,但所得到的线性方程组通常是不定的,常被称为鞍点问题。预处理GMRES方法是有效求解这类线性方程组的方法之一,它需要预先构造一个预条件子,而一个好的预条件子既能减少总的迭代次数,又能减少每步迭代的工作量。本文构造了一类新的分裂预条件子和一种松弛HSS预条件子结合预处理GMRES方法对这类线性方程组进行求解,明显提高了收敛速度。此外,还对两类块三角预条件子所导出的预处理矩阵特征值的界做了更精确估计。数值结果验证了本文所得到的特征值界的更优估计以及两类新的预条件子的有效性。