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变分不等式问题的EFG方法及其收敛性分析

王海杰  
【摘要】:无网格法是近十几年来出现的新兴的数值方法。无单元伽辽金方法(简称EFG)作为无网格方法的一个延伸,具有重要的研究价值。本文详细介绍了EFG方法及其在弹塑性扭转问题、一类抛物型变分不等式问题中的应用,并给出了这两类变分不等式问题EFG方法及其收敛性。通过数值计算,验证了收敛阶分析的合理性和有效性。 本文的主要内容如下: 1)介绍了MLS近似方法的基本原理,以平面静力学问题为例给出了EFG方法的具体形成过程。实现了Poisson问题、悬臂梁问题以及高维热传导问题EFG方法的数值算例,讨论了EFG方法中各种参数对数值计算结果的影响。 2)给出了弹塑性扭转问题的EFG方法,并结合MLS近似误差估计的理论结果,对由弹塑性扭转问题描述的一类椭圆变分不等式EFG离散格式进行了收敛性分析,推导出一类椭圆变分不等式问题EFG方法的收敛性定理,证明了收敛阶同MLS近似中基函数的个数是相关的。通过数值算例,验证了收敛性分析结果与数值分析结果是一致的。 3)讨论了一类时间相关的抛物型变分不等式问题的EFG方法,给出了抛物型变分不等式问题EFG全离散格式及其收敛性分析,推导出抛物型变分不等式EFG方法的收敛性分析定理。说明了关于时间步长或空间步长的收敛阶,不仅同MLS近似形式中基函数的个数相关,还和时间步长与空间步长的大小关系相关。采用二维自由界面问题进行了数值实验,验证了理论结果。


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