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二维风险模型的破产概率的渐近性分析

陈洋  
【摘要】:众所周知,破产概率是精算数学及应用概率论的主要研究对象之一.因为在大多数场合,人们不容易算出破产概率的值,所以破产概率的渐近性研究显得格外重要,破产概率的渐近估计对风险管理有着重要的理论意义和应用价值.从Lundberg (1903)[69]时代一直到现在,破产概率的渐近理论已经成为一个非常活跃的研究领域.在研究的开始阶段,人们主要研究一维更新风险模型.但是在实际生活中,对于保险公司来说,只经营一种保险几乎是不可能的,因此研究多险种的多维更新风险模型因其具有更强的实际意义而被提上日程.多维更新风险模型的研究往往要比一维的情况更加复杂,计算更加繁琐,而且有时还需要解决一些新的数学问题.另一方面,人们发现一些高维更新风险模型与二维更新风险模型没有太大的区别.因此,本文将从以下三个方面研究二维更新风险模型的有限时破产概率的一致渐近理论. 首先,我们研究了不带利率的非标准的二维更新风险模型的有限时破产概率的一致渐近性.其中索赔额是独立同分布的随机变量其分布属于长尾分布族与控制变化尾分布族(见下文定义1.2和1.5)的交,索赔到达间隔时间满足广义负象限相依或宽象限相依结构(见下文定义1.8)的要求.在两种索赔同时到达的情况下,获得了破产概率的渐近公式,它在保险公司经营时间t∈[f(x),∞)上一致成立,这里.f(x)是任意一个无限递增的函数.这个结果使用了与Chen等(2011)[27]不同的证明方法,扩大了其分布族和相依结构的范围,并且削弱了其中的一些条件. 其次,我们研究了带利率和干扰的两种非标准的二维更新风险模型的有限时破产概率的一致渐近性.在这两种模型中,两类索赔分为同时到达和不同时到达两种情况,索赔额都满足上尾渐近独立的相依结构(见下文定义1.9),其分布也属于长尾分布族与控制变化尾分布族的交,索赔到达间隔时间满足宽下象限相依结构.对每一种情况,我们分别获得了三种在有限时段内的有限时破产概率的一致渐近估计.这些结果也使用了与Li等(2007)[65]和Bai和Song (2011)[12]不同的证明方法,并推广了Li等(2007)[65]的部分结果和Bai和Song (2011)[12]的结果. 最后,我们研究了一类时间相依的二维更新风险模型的有限时破产概率的一致渐近性.这里两种索赔同时到达,索赔额是独立同分布的随机变量,其分布属于次指数分布族(见下文定义1.3),并且同时到达的两种索赔额和它们的到达间隔时间具有某种相依关系.我们获得了有限时破产概率的一致渐近估计.这就将Asimit和Badescu (2010)[5],Li等(2010)[67]一维的结果在适当的条件下推广到二维的场合.可以看出,与前两项研究不同,该项研究中索赔额和它们的到达间隔时间之间的相依结构对破产概率的渐近估计有一定的影响. 从上述结果可以发现,本文处理的非标准更新模型有四个特点:有关随机变量的相依性,有关随机变量分布的重尾性,保险品种的多维性以及渐近估计的一致性.这里的一致性可以说明保险公司的初始资本的大小与保险公司的经营时间的长短无关.换言之,无论保险公司打算经营多少年,要控制风险都需要同样大小的初始资本.这些结果不仅丰富了二维更新风险模型的内容,而且在金融保险领域也有潜在的应用价值.


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