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两个高维竞争模型的全局性态分析

于宇梅  
【摘要】:本文以竞争理论为基础,研究了多种产品竞争的产品扩散模型和具有Gompertz增长的三种群竞争模型的定性行为。 本文第二章借鉴种群动力学与传染病动力学的建模思想,建立了描述多产品在市场中竞争的数学模型,并对模型进行了全局分析。首先,我们在三竞争产品扩散模型中引进抽象的接受度函数。采用前人利用Stokes公式排除空间周期解的思想,通过非线性常微分方程理论,Hurwitz定理,推广的Poincar′e-Bendixson定理,我们得到三产品在竞争中共同发展的条件。然后,通过巧妙地构造Liapunov函数,我们成功地将具有双线性接受度的三产品竞争的结果推广发展到n(n≥3)产品竞争模型中去,完成了n维系统的全局稳定性分析,通过对广告效用的分析,得到非负平衡点和正平衡点全局渐近稳定的条件,获得一个没有广告宣传的产品占有市场或被竞争淘汰的阈值,得出了相应的竞争决策。 生物数学的主要任务之一就是研究种群密度的动力学。近70多年来,种群动力学模型多数是以Logistic增长为基础进行建模、定性分析的。近来的许多研究数据表明,各个领域中都有不少种群增长规律或者事物发展变化规律更符合Gompertz增长。以单种群遵循Gompertz增长规律为基础,我们建立了三种群相互竞争的Gompertz模型,根据种间竞争强度和种内竞争强度之间的强弱关系,用四章的内容详细地研究了模型的动力学行为。 应用Busenberg和van den Driessche的思想方法,我们得到种间竞争全强、全弱、次全强或只有两个弱种间竞争且其参数下标循环时,三种群相互竞争的Gompertz系统中不存在周期解的条件。应用全局稳定性问题的几何方法,我们建立了种间竞争次全弱或两个强种间竞争参数下标循环时,正平衡点全局稳定的充分条件,利用永久持续生存理论,得到异宿环吸引或排斥的条件。借助三维不可约竞争系统中和周期轨道相关的理论,我们得到三种群竞争的Gompertz系统或者边界平衡点全局渐近稳定,或者边界平衡点双稳定的条件。构造适当的Liapunov函数,我们利用LaSalle不变性原理、极限系统理论,证明了种间竞争参数满足某些规律时,系统边界平衡点是全局渐近稳定的。借助Liu W.M.给出的不需计算特征根就能判别Hopf分支的方法,我们证明了两类Hopf分支的存在。利用MatCont工具,我们发现,某类三种群竞争的


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