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基于局部对称与反对称分裂下的拟SOR方法

胡宇清  
【摘要】: 大型稀疏矩阵对应的鞍点问题的求解在很多领域中都有广泛应用,如约束优化问题,最小二乘问题,图像处理等等,对于这类方程是用迭代法进行数值求解的,Uzawa算法和最小残量法(MINRES)是两类求解鞍点线性问题的有效方法.为了更好地求解这类问题近年来相关的文献给出了许多方法的讨论,在Uzawa方法的基础上各种迭代法提了出来,例如广义SOR(GSOR)算法,其方法研究的理论背景与Young的SOR理论有着必然的联系.Golub等学者在2001年又提出了拟SOR算法,文献中详细论述了拟SOR算法的收敛条件,最优参数等问题,关于这类方法的讨论有很多的参考文献. 本文对大型稀疏矩阵对应鞍点问题的拟SOR算法进行了研究,在进行矩阵分裂时限定Q为对称正定阵.首先给出了拟SOR方法基于局部对称与反对称形式的矩阵分裂,生成的迭代矩阵形式以及对应的迭代计算式,分析了只有对鞍点问题作简单的左乘变换时,文中研究的拟SOR方法才收敛,得出了该方法收敛时的充分必要条件.接着讨论了b/a的最大最小值与矩阵H和Q的选取之间的关系,对最优因子ω的选取做了详细的分析,采用了比较初等的方法刻划了系数矩阵在这种分裂下的拟SOR算法迭代矩阵的谱半径的形式以及关于ω和b/a的单调性.分情况讨论并证明了拟SOR算法最优迭代参数以及迭代矩阵谱半径的表达式,最后给出了算法的数值实验,通过选取不同的Q以及b/a的不同值得出了与论文所给定理相一致的结论.


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