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若干非标准风险模型的破产概率的渐近性态

高庆武  
【摘要】: 众所周知,风险理论已经被公认为是精算数学的重要组成部分,对它的研究不仅具有保险实务的应用前景,还具有概率论的理论价值;而风险理论中的一个重要问题就是考量保险公司的盈余过程首次为负的概率的渐近性态,这就是所谓的破产概率(包括有限时和无限时破产概率)的渐近性态.经典的风险理论可以追溯到Filip Lundberg (1903)此后许许多多学者经过长年累月的改进、推广和完善,从而建立了各种风险模型并取得了丰硕的成果. 在本文中,我们将考虑在标准的更新风险模型(即Sparre-Andersen模型)的基础上建立起来的若干与金融保险业务紧密相关的非标准的风险模型,研究当保险公司的初始资本趋向于无穷的时候,这些风险模型的破产概率的渐近性质,即指当初始资本趋于无穷时,破产概率等价或弱等价于一些已知的量. 本文的主要内容分为以下四个组成部分: 在第一章中,为了更好地叙述我们的主要结论,我们引入了一些概念,记号和约定.首先,由于分布族在应用概率领域中的重要作用,我们介绍了一些相关的重尾分布族和轻尾分布族的概念,本文将主要讨论带重尾索赔额的风险模型.这些重尾分布主要是指次指数分布,它们很好地解释了保险实务中的一个大跳原理,即保险公司的破产主要是由一个大额索赔引起的.其次,我们刻画了标准的更新风险模型,并同时介绍了各种破产概率,包括无限时破产概率、有限时破产概率、随机时破产概率和局部破产概率,其中“局部破产概率”的架构是王岳宝教授首次提出来的;在重尾索赔额的场合下,局部破产概率往往是非局部(全局)破产概率的高阶无穷小量,即可以用比全局破产概率少得多的成本来控制和估计局部破产概率;另外,“随机时破产概率”考虑的是保险公司的破产发生在某个随机时间区间内的概率,它是有限时破产概率的随机化形式:对它的研究具有重要的理论意义和实用价值(参见第1.2节).在本章的最后部分,我们给出一些负相依随机变量的概念.本文将以一些负相依的索赔额或索赔间隔时间代替独立的索赔额或索赔间隔时间,从而构建了一些不同于标准更新风险模型的非标准风险模型. 在第二章中,我们研究了带有重尾索赔额的非标准更新风险模型的随机时破产概率的渐近性质.首先,我们讨论了索赔额是相互独立的且为长尾分布的情况,得到了随机时破产概率渐近性的一系列等价条件,此时索赔间隔时间的独立性或相依性不受任何限制;其次,我们讨论了索赔额满足某种负相依结构且具有一致变化尾的情况,我们得到了随机时破产概率渐近性的充分条件,此时的结果只要求索赔间隔时间具有另一种负相依结构. 在第三章中,我们引入了一种新的风险模型,即随机重延迟更新风险模型,它在精算实务中具有十分重要的实用意义.基于该模型我们分别研究了破产概率和局部破产概率的渐近性态,其中前者包括重尾索赔和轻尾索赔的两种情形,而后者只需要讨论重尾索赔情形,因为带轻尾索赔额的局部破产概率往往可以直接由全局部破产概率表示出来. 在第四章中,我们讨论了一列二元上尾独立的且具有控制变化尾的随机变量的随机加权和及其最大值的弱渐近性,所得到的结果可以用来估计带有这类相依结构的保险风险和带有某种相依的金融风险的离散时间风险模型的无限时破产概率和有限时破产概率.我们特别指出,上述二元上尾独立的相依结构不但可以包括常见的所有负相依结构,而且可以包含许多正相依结构.


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