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《苏州大学》 2010年
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随机游动和Lévy过程的超出与不足的渐近性及其应用

崔召磊  
【摘要】: 在本文中,我们将研究随机游动和Levy过程的超出与不足的渐近性,也包括Levy过程自身的渐近性.所谓超出,就是给定一个水平后,相应的过程在某个时刻,超过这个水平的程度.超出在许多领域内,诸如排队系统,风险理论,分支过程,无穷可分分布等,都有重要应用,值得研究.本文的应用主要集中在风险理论中.事实上,破产事件就是随机过程的超出的某个事件.周知,破产事件可能性的大小,即破产概率,是风险理论中的一个重要的研究对象.破产概率衡量了保险公司风险的大小,因此它是众多学者关注的核心问题之一.但是破产概率却不能反映破产时亏损的严重性,从而一些学者就开始更加全面准确地刻画破产时的亏损程度,也就是对破产时的超出进行全方位的探讨,如不仅估计破产概率的大小,而且给出一些平均亏损程度的刻画,即给出有关超出的矩的渐近性质.另一方面,不足则刻画了破产前的盈余程度.无疑地,上述破产时的亏损程度与破产前的盈余程度都对保险公司估计、控制和管理风险具有相当重要的理论意义和现实价值. 在风险理论中,为了描述复杂的客观环境,人们建立了各种风险模型.而这些模型往往是经典的更新风险模型的推广,比如在模型中,以变量间某种相依关系取代独立的关系,又比如不但考虑保险风险的影响,还考虑金融风险(利率)的影响等等.近来,一种以Levy过程理论为基础的Levy保险风险模型正成为人们关注的热点之一.这一模型也是风险理论中的一些模型的一般化,比如被布朗运动干扰的风险模型,被p-平稳Levy过程干扰的风险模型等都是一般Levy保险风险模型的特殊情形.又因为经典的更新风险模型最终可以归结为随机游动这一离散过程,而Levy保险风险模型就是一个Levy过程,所以本文就专门讨论随机游动和Levy过程这两种过程的超出和不足的渐近性. 另外,在保险业界盛行一个大跳原理,即破产往往是由一个大跳,也就是一个大额索赔造成的(见Embrechts等(1997)).因此,本文主要关注重尾索赔的情形,也就是在随机游动中我们一般假设索赔额的分布是重尾的;在Levy保险风险模型中,则假设其对应的Levy测度构成的分布是重尾的.重尾分布族中最重要的子族是次指数分布族或者局部次指数分布族.次指数分布族最能体现一个大跳原理,非常符合保险业的实际情况,同时它又被证明不仅是得到破产概率渐近性的充分条件,还是必要条件.因此次指数的假设是合理的. 最后,我们指出,因为破产时的亏损额不可能是无穷大,因而本文将主要讨论局部破产概率的渐近性.周知,对小额索赔的情形,即索赔额服从轻尾分布时,其局部分布往往与非局部(全局)分布是渐近等价的,因此,不必专门讨论轻尾索赔时的局部破产概率.但在大额索赔,即索赔额具有重尾分布时,局部破产概率往往是全局破产概率的无穷小量,换言之,保险公司防范局部风险的代价远比防范全局破产概率的代价为小.因此,局部破产概率的研究在某种程度上有更大的现实意义. 本文将分为如下四章. 在第一章,我们给出所用的一些记号,约定和概念,主要介绍随机游动,Levy过程以及一些相关分布族及其基本性质. 在第二章,我们获得了关于随机游动超出和不足的某个函数φ的矩的局部和非局部渐近性的等价条件和充分条件,这里φ是一个非负的长尾函数.由强马氏性,我们发现超出与不足的矩和首次梯高对应的矩满足一些更新方程.因此,我们首先考虑首次梯高的矩的局部和非局部渐近性,继而给出了一些更新方程的解的渐近性的等价条件和充分条件,最后获得本章的主要结果. 在第三章,我们利用Levy过程的轨道分解的方法,获得了带重尾Levy测度的Levy过程自身的一致局部渐近性.应用此结果,我们研究了有限时破产概率的一致渐近性,换言之,得到了有限时破产概率的渐近估计.从中,我们发现在被布朗运动干扰的复合泊松风险过程中,布朗运动对有限时破产概率的渐近性质没有任何影响. 在第四章,我们获得了带重尾Levy测度的Levy过程的超出和不足的一致局部渐近性.应用这些结果,获得了局部破产概率的一致渐近性.我们同样发现在被布朗运动干扰的复合泊松风险过程中,布朗运动对局部破产概率的影响也消失了.最后,我们又利用Levy过程超出的一致渐近性,讨论了其矩的渐近性.
【学位授予单位】:苏州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O211.67

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