基于多项式插值逼近的分数阶偏微分方程高精度差分方法

【摘要】：近几十年来,由于分数阶导数具有非局部性质,比整数阶导数更适合描述具有记忆和遗传性质的材料和过程.因此,分数阶微分方程更能准确地刻画许多自然界的现象,得到了越来越多的学者的关注.关于分数阶偏微分方程的数值解法无论对工程技术领域还是对数学本身都具有重要的价值.本文主要是在超收敛点处对时间分数阶波方程、多项时间分数阶波方程、时空分数阶Bloch-Torrey方程以及非线性时间分数阶四阶反应-扩散方程等初边值问题构造数值解法,并给出相应的理论分析.本文首先研究的是时间分数阶波方程的数值解法.对一维和二维时间分数阶波方程利用降阶法得到等价的方程组,然后利用L2-1σ公式(Alikhanov,J.Comput.Phys.280(2015),424-438)对等价方程组建立时间方向二阶精度,空间方向分别为二阶和四阶精度的有限差分格式.利用离散能量法,严格证明了格式在H1范数下的无条件稳定性和收敛性.同时还给出了三维时间分数阶波方程的差分格式.数值算例验证了格式的计算精度和有效性.其次,对多项时间分数阶波方程建立时间二阶精度的有限差分格式.利用降阶法得到等价方程组,再对方程组中的多项时间分数阶导数在其超收敛点处离散,从而对多项时间分数阶波方程分别建立时间和空间方向都为二阶精度的差分格式和时间二阶、空间四阶精度的差分格式.我们证明了两个格式是唯一可解的,且在最大模下是无条件稳定的和收敛的,收敛阶分别为O(τ2 + h2)和O(τ2 + h4).数值实验表明格式的有效性,验证了差分格式的理论分析精度.随后,讨论了一维和二维时空分数阶Bloch-Torrey方程的差分方法.利用L2-1σ公式来离散时间分数阶Caputo导数,分别应用分数阶二阶中心差分格式(C.Celik,M.Duman,J.Comput.Phys.231(2012),1743-1750.)和四阶紧算子(X.Zhao,Z.Z.Sun,Z.P.Zhao,SIAM J.Sci.Comput.36(2014),A2865-A2886.)对空间分数阶Riesz导数进行逼近,从而对一维和二维Bloch-Torrey方程构造有限差分格式.同时我们给出了分数阶二阶中心差分算子的权系数和的下界的一个估计式.利用离散能量法以及权系数的下界估计式,我们对格式的稳定性和收敛性给出了严格的理论证明.对二维问题,我们还给出了两个ADI格式来求解方程.数值算例验证了差分格式的有效性.最后一部分考虑了非线性时间分数阶四阶反应-扩散方程的数值逼近.首先利用降阶法,得到一个等价方程组,运用L2-1σ公式对时间Caputo分数阶导数进行离散,对空间整数阶导数采用二阶格式离散,进而构造一个三层线性化的有限差分格式.利用离散能量法,我们给出了格式在L2模下的无条件稳定性和收敛性的严格的理论证明,收敛阶为O(τ2 +h12+h22).对于差分格式的收敛性证明是理论分析的一个难点,我们主要应用二维网格函数空间的一个嵌入定理给出了格式的收敛性分析.数值实验验证了格式的理论分析的精度.