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《东南大学》 2017年
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双边分数阶扩散方程的高精度和高效数值方法

郝朝鹏  
【摘要】:分数阶微分方程是经典整数阶微分方程的推广.在过去的二十年里,分数阶微分方程被广泛地用于涡流模拟、经典守恒系统混沌动力学,地下水污染物传输,以及生物、物理、化学、金融学等诸多领域.由于分数阶微分方程能够模拟反常扩散现象,能够捕捉到系统中的非局部效应和对象之间的长时间、大范围相互作用,因此,对于分数阶微分方程理论和数值方法的研究越来越受到来自工程、控制、应用数学等领域学者们的关注.本文旨在研究双边空间分数阶扩散方程的高精度及高效数值方法.作为科学计算和应用的强有力工具,有限差分、有限元和谱方法是求解空间分数阶扩散方程的重要数值方法.然而由于分数阶导数算子具有非局部性,要实现这些数值方法往往会导致存储量很大,计算代价高昂.为了克服这一困难,降低存储量、节约计算成本,发展高精度数值格式是行之有效的方法之一.这些构成了本文研究的重点.其次,分数阶导数算子中的奇异核导致了分数阶微分方程解的弱奇异性.对于空间分数阶扩散方程来说,奇点在边界处,由此导致了数值方法无法获得较高的精度,这是本文着力解决的另一个问题.首先,在本文中,通过加权移位的Grunwald公式结合紧凑技巧,我们推导出了一个空间分数阶导数的四阶有限差分逼近,研究了有限差商逼近算子的性质,随之将提出的有限差分逼近应用到一维和二维空间分数阶微分方程的求解中.通过能量分析方法,证明了所提出的拟紧有限差分格式在L2模意义下无条件稳定与收敛,并且给出一些数值算例,验证了理论结果的正确性.其次,通过外推技巧,提出了一种有效的算法,用于提高求解带有不光滑解分数阶边值问题的有限差分格式的精度.我们重新考虑两种被广泛应用的分数阶导数的逼近公式,即加权移位Grunwald格式和分数阶中心差分格式,证明了两种格式在最大模意义下的稳定性.基于分数阶边值问题解的主项奇异性分析,我们提出了加权移位Grunwald格式和分数阶中心差分格式的后处理算法,相比于原有格式得到的数值解,后处理算法可以取得更高的精度.对于阶次接近于1的分数阶微分方程,为了进一步提高精度,我们发展了基于两次外推的奇异项校正方法.数值模拟结果显示,通过使用后处理算法,数值解的精度和收敛率都得到了大幅提高.随后,我们证明了相比于常规的Sobolev空间,解在带权Sobolev空间的正则性可以得到极大提高.应用该正则性,我们证明了谱Galerkin方法的高收敛性.此外,本文提出了谱Petrov-Galerkin方法,并证明了该方法的最优误差估计.我们给出了数值算例,数值结果验证了理论预测的正确性.最后,我们考虑双边分数阶扩散方程的变系数问题.通过乘积的求导法则,我们首先将原问题转化并重新表述成一个带有低阶分数阶项的等价方程,然后基于等价方程发展了 Galerkin有限元方法.即使对于大的变系数问题,强制性不再成立,我们仍然采用Galerkin弱形式.借助于Garding不等式,我们证明了数值解在适当小步长条件下是唯一可解的.我们对解提出了合理的正则性假设,基于此对于所发展的Galekin有限元方法进行了误差估计.数值算例验证了理论结果的可靠性和正确性.
【学位授予单位】:东南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O241.8

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