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《南京航空航天大学》 2016年
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非Hermitian线性方程组的若干迭代方法及其预处理

张建华  
【摘要】:有效求解大规模线性方程组是科学和工程计算中的重要研究内容。本文利用Krylov子空间、矩阵分裂和预处理技术的理论与方法,研究非Hermitian线性方程组的若干迭代方法及其预处理,主要创新工作如下:对复非对称线性方程组,首先,建立了耦合二项双共轭A-双正交化过程,基于此过程,提出了一个新的拟最小残量方法(QMOR),给出了QMOR方法的收敛性结果及其与GMRES方法残量之间的关系。为加快QMOR方法的收敛速度,给出了其双侧预处理方法。其次,为克服共轭A-正交残量平方法(CORS)残量范数收敛不规则行为,采用拟光滑技术提出了求解复非对称线性方程组的免转置拟最小残量方法(TFQMORS),建立了TFQMORS方法与GMRES方法之间的关系及其有限终止性,并给出了TFQMORS方法收敛性结果。为加快TFQMORS方法的收敛速度,并改善其稳定性及鲁棒性,设计了双侧预处理TFQMORS方法。最后,为改善CORS方法的收敛性及其残量范数的光滑性,利用两个近似双共轭A-正交残量法(BiCOR)残量多项式的乘积代替BiCOR残量多项式的平方,提出了求解复非对称线性方程组的广义CORS方法(GCORS),并导出了一个新的GCORS方法(GCORS2)及其预处理。对复对称线性方程组,首先,将求解复非对称线性方程组的QMOR方法推广至复对称情形,提出了求解复对称线性方程组的CSQMOR方法及其预处理;基于拟最小残量方法(QMR)与BiCOR方法的关系和不定内积,提出了求解复对称线性方程组的SQMOR方法及其双侧预处理。其次,对复对称不定线性方程组,建立了预处理简单Hermitian正规分裂迭代法(PSHNS)和预处理子,并分析了PSHNS迭代法的收敛性,给出了最优参数的表达式、迭代矩阵谱半径的上界估计和预处理矩阵的谱分布。最后,研究了复对称线性方程组形成的2×2块实线性方程组的求解问题,基于系数矩阵的特殊分裂和松弛技术,提出了一个新型块预处理子,并分析了预处理矩阵的谱性质,给出了预处理矩阵最小多项式次数的上界和新型块预处理子的具体实施过程。对具有多个右端项的复线性方程组,首先,给出了复总体BiCG方法(复Gl-BCG)和复总体BiCGSTAB方法(复Gl-BiCGSTAB)。其次,在复Gl-BCG方法基础上建立了总体广义积型Bi CG方法(Gl-GPBiCG)及其预处理。最后,通过研究Gl-GPBiCG方法计算过程中出现的反序递推关系式和不稳定的辅助多项式,提出了Gl-GPBiCG方法的改进形式及其预处理。数值结果说明了本文所给求解非Hermitian线性方程组的数值方法都是有效的。
【学位授予单位】:南京航空航天大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O241.6

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