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高阶C-Bézier曲线曲面性质研究及其应用

赵玉林  
【摘要】:本文从理论和应用的角度,对任意次 C-Bézier 曲线曲面的性质进行了深入研究。着重讨论了高阶导矢、降阶、拼接等几何配套性质。还研究了三次 C-Bézier 曲线的奇异性和凸性等几何性态问题,完成的主要研究内容和结果如下: 一、给出了n次 C-Bézier 曲线的高阶导矢计算公式及其极限性质,揭示了C-Bézier 曲线与 Bézier 曲线的联系。并给出了 C-Bézier 曲线的曲率,C-Bézier曲面的 Guass 曲率和平均曲率的几何算法,这些算法比微分几何的经典公式更直观和简单,计算只用到控制网的一些简单几何量。 二、提出了 C-Bézier 曲线的两种降阶逼近算法。一是根据 C-Bézier 曲线升阶性质,应用广义逆矩阵理论,将 C-Bézier 曲线的降阶归之为不相容线性方程组的最小二乘解问题,给出了 C-Bézier 一次降多阶的逼近方法。二是基于 C-Bézier 曲线的退化条件和最优化方法,提出了一种新的降阶逼近方法,给出了误差估计,并结合离散算法达到高精度,且保持G1连续。最后将曲线的结果推广到曲面的情形。 三、给出了在曲线几何连续中关联矩阵的另一种计算方法。用代数方法推导了两条高阶 C-Bézier 曲线G2拼接的充要条件,用几何方法给出了三阶G1和四阶G2连续的组合 C-Bézier 曲线,并指出这些组合 C-Bézier 曲线在一定参数条件下分别成为三阶C1和四阶C2 的均匀代数三角 B 样条曲线(UAT B-splines)。还给出了多张 C-Bézier 曲面的G1拼接。 四、应用平面参数曲线奇拐点分析方法,给出了平面三次 C-Bézier 曲线在λμ _ 平面上对应的凸、尖点、二重点和拐点区域,推导了一条空间三次 C-Bézier曲线为挠曲线的充分必要条件,证明了挠曲线没有尖点、重结点和泛拐点的特性。这些结果对几何造型系统有着重要的实际意义。 五、以上提出的 C-Bézier 曲线曲面降阶算法和拼接算法,均与 Bézier 曲线曲面的情形作了分析与比较。并应用于实例在计算机上得以实现。


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