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《南京航空航天大学》 2007年
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正则化方法及其在模型修正中的应用

吴颉尔  
【摘要】: 结构动力模型修正是结构动力学领域一个重要的研究方向。由于离散化的误差,利用有限元方法建立的结构动力模型,通常需要使用结构的实验测试数据加以修正。有限元模型修正大致分为矩阵修正法和设计参数修正法。这两种模型修正方法都涉及求解一个高阶不适定线性系统。对于这类线性系统,模态数据的误差会使得模型修正结果丧失物理意义。 本文研究求解线性不适定系统的正则化方法及其理论,并将其应用于模型修正。首先研究Tikhonov正则化方法和截断奇异值分解(TSVD)方法进行模型修正的有效性。由于它们需要对矩阵作奇异值分解,计算量大。为避免矩阵的SVD分解,本文提出下列正则化方法。 对于低阶线性不适定系统,本文提出基于矩阵示秩QR分解(RRQR)的正则化RRQR方法,给出基于L-曲线和GCV准则的正则化参数计算公式,进行误差分析,并将其应用于模型修正。试验结果表明,其修正结果优于基于QR分解的计算结果,并且对于模态数据有误差的情况下,正则化RRQR方法的计算结果优于基于SVD分解的最小范数解的计算结果。 对于高阶线性不适定系统,本文提出用正则化Krylov子空间方法进行求解。 提出了求解线性不适定系统的正则化LSQR方法,针对欠定和超定病态线性系统,分别提出基于迭代半收敛和Tikhonov方法的正则化LSQR方法,给出正则化参数的计算公式,分析了谱逼近和解的收敛性问题,并将所给方法应用于模型修正。理论分析和数值试验均表明,该方法能克服计算病态线性系统的不稳定性,结果优于最小二乘方法。 提出了正则化完全正交化(FOM)方法,分析了迭代子系统的病态性,建立基于残量光滑技术的半收敛方法和混合方法,给出正则化参数的计算公式,并应用于模型修正。数值试验表明所给方法能克服计算病态线性系统的不稳定性,修正结果优于最小二乘方法。 提出了正则化拟残量极小方法(QMR)和正则化双共轭梯度(BiCG)方法,给出用TSVD方法和Tikhonov正则化方法求解子系统的L-曲线和GCV函数方法,及正则化参数的计算公式,并将它们应用于模型修正。数值试验表明,基于L-曲线的正则化方法具很好的可靠性,模型修正结果优于最小二乘方法。 本文提出的方法同样适用于其它领域的不适定性问题,具有广泛的应用意义。
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