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Some Aspects of Geometry and Analysis in Sub-Riemannian Manifolds

谭康海  
【摘要】:对广义的Heisenberg群,本论文给出了最短次黎曼测地线的明确表达方程,并完全刻画了次黎曼等距群。对任意的次黎曼流形(M,△,g_c),作者证明存在唯一的、由次黎曼结构(△,g_c)完全决定的非完全(nonholonomic)联络。这是黎曼几何基本定理的次黎曼版本。作者应用这个内在的联络给出了超曲面的水平平均曲率的几何定义。 本论文研究了从Carnot-Carathéodory空间(R~n,△,g_c)到可分度量空间的广义调和映射。当定义域是光滑的和非特征(noncharacteristic)区域时作者证明了一个一般的存在性定理。当靶空间是非正曲率(Alexandrov意义下)空间时,定义域的非特征条件可以去掉,并可以得到能量极小解的唯一性和局部Hlder连续性。如果进一步假设定义域是Carnot群中的区域,作者证明了能量极小解的局部Lipschitz连续性。当定义域是平面区域而靶空间是Heisenberg群时,作者得到了能量极小解的部分正则性。


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