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随机波动率模型的统计推断及其衍生证券的定价

陈萍  
【摘要】:在金融数学中,Black-Scholes关于期权定价的工作是众所周知的。Black-Scholes模型将期权价格与基础股票价格联系起来,常数波动率描述风险。实践表明,这种简单的描述方法已无法适应现代金融市场的变化。对Black-Scholes模型的一种自然推广就是将波动率看作股票价格的函数或一个随机过程。本文全面研究了三类随机波动率模型的统计推断与期权定价问题。论文分两大部分。第一部分对价格依赖型波动率模型、完备的随机波动率模型和波动率过程服从Cox-Ingersoll-Ross模型的随机波动率模型下基于离散观察值的参数与非参数估计问题进行了深入的研究。第二部分研究了上述三类模型下期权的定价问题。主要研究结果归纳如下: 1.对扩散方程扩散系数的非参数估计问题进行了研究,构造了扩散系数函数的小波估计,并给出了估计量的收敛速度,证明了估计量的a.s.收敛性。利用上述估计方法对价格依赖型波动率模型和完备的随机波动率模型参数进行了估计。 2.利用CIR过程的结构特征,证明了CIR过程关于均值与方差的各态历经性,从而给出了CIR过程的平稳均值m与平稳方差v的矩估计,并利用m和v给出了CIR过程中尺度参数α与波动率β之间的关系,将问题转化为漂移系数与扩散系数中都含有未知参数α的参数估计问题。讨论了参数α的条件矩估计和渐进极大似然估计。数值模拟表明条件矩估计优于渐进极大似然估计。 3.给出了价格依赖型模型,完备的随机波动率模型下有分红及配股的股票价格运动规律,并讨论了以定期分红及配股的股票为标的资产的美式期权的定价问题。证明了美式看涨期权的最优执行时间只可能在到期日或每次分红或送配股除权除息前瞬间。给出了在各次分红或送配股之间,期权的值所满足的随机微分方程。 4.给出了CIR模型下欧式期权的渐进定价公式,并利用得到的欧式期权价值微分方程和欧式期权的渐进定价公式,给出了有分红及送、配股的美式期权的渐进定价公式。


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