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加权g-期望及其相关性质

穆静静  
【摘要】:我们在g-期望的基础上研究加权g-期望.设λ∈[0,1].记εgλ[ζ]=λεg[ζ]+(1-λ)(-εg[-ζ]),(?)ζ∈L2(Ω,F,P),称εgλ[ζ]为ζ的加权g-期望.我们研究加权g-期望的直接动因是赫尔维茨的关于最乐观与最悲观结果的方法(Hurwitz optimism-pessimism approach),一个意义明确的特例是生成元g=μ|z|,其中μ是一个正常数.对这种g所生成的g-期望我们知道存在一个仅依赖于生成元g的概率测度集S,使得εg[-ζ]=max p∈SEp[-ζ]=-min P∈SEp[ζ] 相应地,此时加权g-期望εgλ[ζ]=λεg[ζ]+(1-λ)(-εg[-ζ])=λmax p∈S Ep[ζ]+(1-λ)minp∈S Ep[ζ]此时加权g-期望εgλ[ζ]可以反映经济人对最乐观结果max与最悲观结果min赋予适当的权重后而形成的一种预期.从此例可以看出加权g-期望可以更好地反映不确定条件下不同经济人的预期. 第一章介绍了g-期望、加权g-期望的研究背景与发展以及主要内容. 第二章介绍了g-期望的基本理论.给出g-期望及条件g-期望的定义及基本性质,g-期望与生成元g相关的性质. 第三章,方差、协方差、相关系数是概率论中的基本概念.我们给出加权g-期望下随机变量的相关性,包括加权g-期望的方差、协方差、相关系数,并推出它们的基本性质,得出两随机变量是正(负)相关的充分条件及相关系数应用的一个例子. 第四章,我们给出加权g-期望的若干不等式、大数定律及共单调性.我们先由加权g-期望关于λ单增及其性质,得出加权g-期望下的切比雪夫不等式,并应用于大数定律的证明.我们由Borel-Cantelli引理、引理4.4.2及引理4.4.3推出我们重要的定理:基于加权g-期望的大数定律.我们还研究了具有共单调次可加性的加权g-期望εgλ[·]的基本性质.


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