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具有临界指数的几类分数阶椭圆方程解的存在性、多解性与集中性

金花  
【摘要】:分数阶微分方程是近年来非常活跃的一个研究领域,其具有深刻的物理背景和丰富的理论内涵,与几何学、泛函分析、量子力学、概率论等分支有着十分紧密的联系.相对局部微分方程问题的研究,非局部问题的处理要变得更加困难.自从Caffarelli和Silvestre引入了分数阶拉普拉斯算子的扩展定义之后,分数阶方程的正则性、极值原理等基本性质才得以建立,从而为各种非线性分析工具的引入打下了基础.本文主要研究具有临界指数的几类分数阶椭圆方程解的存在性、多解性及解的集中性.具体如下:第一部分,在没有单调性条件和(AR)条件下,研究了具有临界指数增长的分数阶Schr?dinger方程基态解的存在性.由于紧性的缺失以及(PS)序列有界性验证带来的困难,本文采用单调性技巧,利用辅助方程构造了原问题有界的(PS)序列,通过有界(PS)序列的分解获得紧性,完成了基态解的存在性证明.第二部分,研究了临界情况下分数阶奇异扰动问题解的存在性和集中性.由于嵌入紧性的缺失以及没有(AR)条件和单调性条件,本文通过截断技巧,利用全空间上Morse迭代得到极限问题基态解集的一致无穷模估计,将临界问题转化为次临界问题,再利用次临界问题解的存在性和集中性,得到临界奇异扰动问题解的存在性和集中性.第三部分,研究了具有临界指数的分数阶Kirchhoff方程解及多解的存在性.由于Kirchhoff项的出现,当维数N4s时,山路结构不成立且(AR)条件不成立,本文利用扰动的方法得到有界的(PS)序列,进而证明解的存在性及随参数变化的渐近行为;另外,利用截断函数法、集中紧原理和环绕定理,得到一类临界分数阶Kirchhoff方程的多解性.第四部分,研究了具有Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数的分数阶Choquard方程基态解的存在性.通过Hardy-Littlewood-Sobolev临界最佳嵌入的达到函数,得到了临界问题最低能量的上界估计.利用逼近的思想,得到了临界问题有界的(PS)序列,通过分解引理和紧性引理得到了临界问题非负径向对称基态解的存在性.


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