基于紧支径向基函数和小波基函数的无网格法

【摘要】： 有限元法是目前求解各类边值问题的主要方法之一，它以单元和分片插值 形函数为基础，收敛性有保证，并有大量的通用和专业软件可供使用，已发展 成一种成熟的方法。但在目前大量出现的新问题上面临困难，如介质不连续、 大变形等。无网格法是近年来发展起来的一种新兴的数值分析方法，它摆脱了 传统的单元和网格的概念，不需网格重构，只需结点信息而无需单元信息，可 以求解自适应问题，日益成为解决上述问题的重要方法和手段。紧支径向基函 数和小波基函数具有优良的局部特性，使得支配方程中的劲度矩阵系具有稀疏 性，特别适合应用于无网格方法中。本文分别研究了基于变分原理的紧支径向 基函数和小波基函数的无网格法及其在固体力学线弹性平面问题中的应用，推 导了相关的计算公式，并进行了数值分析与验算。主要开展了以下几方面的工 作： 1．阐述了目前国内外无网格法的研究现状和现存问题，介绍了无网格法中 场函数的三种不同选取形式、支配方程的离散化方法以及第一类边界条件的四 种处理方案。 2．从数学的角度，简略地介绍了紧支径向函数和小波函数的概念，列出了 一些常用的紧支径向基函数和小波基函数形式，从而为其在无网格法中的应用 奠定了数学基础；把以上二者直接作为场函数引入变分方法中，详细地推导了 线弹性平面情况下相关的公式。 3．介绍了一种新的节点积分法，并应用这一思想，编制了相应的计算程序， 进行了数值分析与验算。结果表明两类无网格法理论上的正确性和节点积分法 的可行性。 4．总结了基于紧支径向基函数和小波基函数的无网格法及其优缺点并初步 探索了无网格法今后的发展趋势。