两类奇异边值问题的正解

【摘要】：在最近30年中，常微分方程奇异边值问题由于在自然科学和工程技术中的广泛应用，受到各国学者的广泛关注，出现了大量的优秀成果。正解的存在性和多解性是奇异边值问题研究的重要课题。到目前为止，只有少数文献研究非线性项可以变号的奇异边值问题的可解性。本文利用上下解方法，Schauder不动点定理和逼近理论，讨论两类非线性项可变号的二阶奇异边值问题，给出关于正解存在性的新结论。 本文分为三章。 第一章为绪论，阐述常微分方程奇异边值问题的研究背景。 第二章为非线性项可变号的二阶奇异混合边值问题建立正解存在性定理，主要结果如下。定理2．1 设下列条件成立：(H1)p∈C[0，1]∩C~1(0，1)且p(t)＞0，t∈[0，1]。(H2)f：[0，1)×(0，∞)×R→R连续，且f在u=0和t=1处奇异。(H3)存在L＞0满足对任意的紧集l(?)[0，1)可以找到ε_l＞0使得 f(t，u，v)＞L，(t，u，v)∈l×(0，ε_l]×R成立。(H4)对任意的δ＞0，存在函数qδ和φδ使得下列关系式成立， qδ∈C[0，1)；qδ(t)＞0，t∈[0，1)；integral from n=0 to 1 qδ(t)df＜∞； φδ：[0，∞)→(0，∞)连续且integral from n=0 to ∞ dv／φδ(v)＞integral from n=0 to 1 p(t)(qδ(θ_1(t))+2qδ(t))dt； |f(t，u，v)|≤qδ(t)φδ(|v|)，(t，u，v)∈[0，1)×[δ，∞)×R，其中θ_n(t)=min{t，1-1／2n}，t∈[0，1)，n∈N~+。则问题(2．2)至少有一个正解u∈C[0，1]∩C~2(0，1)。