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采用最优化方法的张量计算及其应用

陈艳男  
【摘要】:张量计算的理论与方法广泛应用于科学与工程领域的许多方面,例如:化学计量学、信号处理、数据挖掘和医学工程。本博士论文致力于研究这些实际应用中张量计算问题的内在结构特点,并发展相应的高水平最优化模型与方法。 第二章,我们首先研究医学工程中的一个张量估计问题。在核磁共振成像过程中,确保扩散张量的正定性是非常重要的,因为这个正定性反映的是水分子在复杂的生物组织环境中的扩散(布朗运动)现象。为保持扩散张量的正定性,我们将其转换成一个显式的正半定矩阵约束和一些线性矩阵等式约束。目标函数共有两部分,一是对数线性化的Stejskal-Tanner方程的最小二乘拟合;二是取正半定矩阵的核范数作为正则项,因为我们研究后认为正半定矩阵变量的秩低一点比较好。这样,我们就建立了一个凸二次的半定规划模型。该模型的全局最优解是肯定存在的,且可以通过以下三种算法求得。对原始问题,我们可以用两个成熟的软件SDPT3和QSDP。然而,在研究了这一实际问题的内在特点之后,我们提出解其等价的对偶问题,算法使用的是增广的拉格朗日交替方向法。数值实验表明,交替方向法的计算速度至少是SDPT3和QSDP的十倍。又由于实际测量的信号有噪音,我们对新模型估计的最优扩散张量的系数与最优目标函数值作了灵敏度分析。对多个纤维交叉的人工实验表明新方法对Rician噪音是稳健的,并且优于现有方法。同时,新方法对纤维方向分布函数的估计与Q-球成像法一样成功。进一步的,对实际的人体大脑数据进行了数值实验,我们发现新算法重建的纤维结构准确表达了真实的神经纤维束的形态。另外,新方法产生的广义扩散张量在任何点处都是正定的,而不考虑正定性约束的最小二乘法是做不到的。 第三章,我们考虑张量分解问题。在信号处理、数据分析和科学计算中,人们常常需要将一个张量分解成一些因子的乘积。求解这类问题的数值方法——如交替最小二乘算法——具有两个关键要素:搜索方向与步长因子。本章就从这两个要素着手。一方面,由于该问题是非线性的,常用的线性化搜索方向不是很有效。所以,我们提出两个高阶的搜索方向。一个称为几何搜索方向,它将最近的两个线性搜索方向作了线性组合。第二个是代数搜索方向,它的构造是通过对三个连续的迭代点进行二次插值而得到的。另一方面,我们考虑沿这些搜索方向进行加强线搜索(精确线搜索)。一个最优的复数步长因子含有两个独立的参数:模与辐角。现有的算法ELSCS是采用交替的方式计算这两个参数的。这样找到的复数步长就有可能不是全局最优的。我们给出了一种同时计算模与辐角这两个参数的新方法,从而可以保证得到的复数步长因子是全局最优的。最后,对带卷积的DS-CDMA混迭数据的盲分离均衡问题进行了数值试验,我们比较了各种搜索方向与步长因子。结果表明新的搜索方向极大的提高了交替最小二乘算法的效率。同时,新的最优步长策略也是很成功的。 第四章,我们对最小二乘意义下高阶张量的最佳秩一逼近问题设计了一个快速的优化方法——序列无约束对偶优化算法。该算法的主要思想是把张量最佳秩一逼近的带约束的对偶问题转化成一系列的无约束优化问题。然后,我们设计了一个快速的梯度类方法解这些无约束的优化问题,算法的创新点在于给最速上升方向装备了一个新的初始步长策略,然后采用后退线搜索技术产生新的迭代点。理论分析表明新算法对任意的初始点都可以收敛到对偶问题的一个KKT点。数值实验表明,序列无约束对偶优化算法要优于交替最小二乘算法。


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