动态拓扑关系的几何代数形式化解析与计算方法研究

【摘要】：拓扑关系是GIS表达和计算的重要基石,也是拓扑数据模型、空间索引、空间分析以及数据表达与可视化的核心组件。当前对拓扑关系的形式化表达研究主要基于点集拓扑理论,并通过集合间的运算加以实现。在表达和计算过程中,对象间的拓扑关系更多的是通过诸如边界、内部、外部等抽象对象加以表达,导致拓扑关系的表达和计算上容易出现拓扑计算复杂、易出现拓扑歧义等问题。由于现有的拓扑关系表达和计算中原始的几何对象及其几何属性难以被直接集成至拓扑关系计算模型中,导致了当前拓扑关系计算模型缺乏很好的动态适应性,即使在对象的运动特性已知的情况下,也只能通过迭代式的求解来实现对拓扑关系序列的计算。对动态拓扑关系形式化表达与计算模型的缺乏是限制当前时空GIS发展的关键。几何对象及其运动的形式化、代数化表达方法的缺乏是导致当前动态拓扑关系形式化表达与计算困难的主要原因之一。传统的GIS主要基于欧氏几何,在欧氏空间下,不同的几何对象间难以直接进行代数化、形式化的表达,几何对象的运动也难以通过统一的运算算子加以描述,如欧氏空间下的平移、旋转、缩放等操作等均是通过不同的矩阵加以实现的。对象表达和运动表达上的形式化描述和代数化表达工具的缺乏导致了在欧氏空间下直接进行动态拓扑关系的形式化表达与计算具有相当的难度。寻找可以有效连接几何和代数,并可有效表达对象运动的新型数学工具,进而在此基础上进行动态拓扑关系的形式化表达研究是突破当前动态拓扑关系表达与计算瓶颈的可行途径。面向对象动态拓扑关系的形式化表达和计算问题,本文通过引入内蕴几何维度构造关系和几何度量关系的几何代数理论,借鉴函数的思想,在几何对象多层次表达模型的基础上,通过构造共形几何代数(CGA)空间,建立了多维对象的层次表达模型,实现了简单几何对象的多重向量表达,实现了对维度构造关系、几何度量关系以及函数结构描述关系的统一表达。运动的表现形式有平移、缩放、旋转,在CGA中,可以统一用Versor表达,不同运动结合的复杂运动也均可被Versor算子统一表达,并可直接应用与几何体的多重向量运算上。基于Versor算子的对象运动表达具有解析性、动态性和自适应性等特点。运用Versor算子,构造简单几何对象的运动表达,进而在此基础上利用Meet等算子实现对简单几何对象之间的拓扑关系的形式化计算,并依据对象的层次表达模型,采取层层推理,由高维到低维的逐层判断方式,减少不必要的冗余计算,设计了基于RCC-8模型的面面对象拓扑关系判断方法,将对象形式化表达与几何代数维度统一的计算性有效的结合起来,为研究动态的拓扑关系变化提供了理论支撑。针对运动过程中,拓扑关系变化的求解,本文首先结合刚体运动的特性,建立拓扑关系之间变化的基本规则与约束,进而结合表达与计算统一模型,通过构建运动的平移轨迹与旋转轨迹的表达,借鉴最小外接矩形的索引判断方法,实现对运动轨迹与相对静止对象的拓扑组合排列的分析,建立以运动轨迹对象排列为索引的的拓扑关系变化的定性判断规则,并进一步对平移translater和旋转rotor的解析完成对临界值的求解与拓扑区间的划分,完善拓扑变化序列,形成拓扑映射函数。构建了运动对象的实时拓扑变化序列的求解模型。有效的解决了实时动态拓扑关系的求解。验证部分,论文着重分析了以三角形为例的对象间的拓扑序列的求解过程,结果表明基于几何代数的面对象表达支持动态拓扑关系的计算,验证了拓扑序列和区间的求解规则的实用性,这为其它复杂对象间建模表达与空间分析统一求解提供了借鉴。