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《南京师范大学》 2018年
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G-期望框架下的几类随机微分方程的研究

王丙均  
【摘要】:在本文中,我们讨论G-期望框架下由G-布朗运动和G-Levy过程驱动的几类随机微分方程.论文由五个部分组成,结构如下:第一章,我们给出本文的研究背景及一些预备知识.第二章,我们考虑由G-布朗运动驱动的反射倒向随机微分方程.我们采用不同于文献[48]的方法.具体来说,我们利用文献[76]推导出来的G-鞅表示定理,文献[16]得到的G-期望框架下的最优停止定理和文献[14]所介绍的方法.然而,我们也需要在G-期望框架下未被证明的G-上執表示定理,在本文中我们给出了证明.最终,我们证明了反射倒向随机微分方程的解的存在唯一性和一些估计.另外,我们得到了反射倒向随机微分方程的比较定理,这个比较定理是反射倒向方程理论中的一个有力的工具,在后面的章节中,也有应用.应该注意的是,在上面的方程中要求生成元f满足Lipschitz条件.在本章的第三部分,我们证明了当生成元f不满足Lipschitz条件时,方程至少存在一组解,推广了文献[48]的结论.第三章,我们考虑由G-布朗运动驱动的正倒向随机微分方程.在第一部分,通过迭代的方法,我们讨论由G-布朗运动驱动的完全耦合的正倒向随机微分方程,在参数满足单调性的条件下,证明了方程存在唯一的全局解,推广了现有的结论.在第二部分,我们讨论由G-布朗运动驱动的有障碍限制的反射正倒向随机微分方程,其中的参数仅满足连续性和线性增长条件.我们证明了方程至少存在一组解.其中的一个困难是参数不满足Lipschitz条件.另一方面,控制收敛定理在G-期望框架下不成立.进一步,反射倒向随机微分方程中的经典的Skorohod条件被现在的G-鞅条件代替.我们利用Lepeltier-San Martin[44]介绍的光滑化方法,关于正向方程和反射倒向方程的比较定理(在第二章中已证明),关于时间t积分的控制收敛定理,G-期望框架下的向下的单调收敛定理,构造了一个逼近序列.最终,我们证明了这个逼近序列的极限就是反射正倒向方程的一组解.第四章,我们考虑一类由G-布朗运动驱动的非Lipschitz条件下的中立性偏泛函积分微分方程.我们利用Picard迭代的方法证明了温和解的存在唯一性.另外,我们证明了方程的解的稳定性.最后,我们给出了一个例子.第五章,我们考虑由G-Levy过程驱动的随机微分方程.在第一部分,我们证明了关于G-Levy过程的G-随机积分的BDG型不等式.在这个基础上,我们在参数不满足Lipschitz条件的情形下证明了方程的解的存在唯一性.另外,我们利用G-Lyapunov函数的方法,得到了方程的解的均方指数稳定性和拟必然稳定性.最后,我们给出了一个例子.在本章的第二部分,我们考虑由G-Levy过程驱动的随机微分方程,在参数不是连续函数的情形下,利用上下解的方法证明了方程至少存在一个解.
【学位授予单位】:南京师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O211.63

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