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《南京师范大学》 2019年
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复杂跳扩散风险模型中均值方差准则下的最优投资与最优再保险问题的研究

张彩斌  
【摘要】:长期以来,风险控制与风险管理一直是保险公司和金融机构的一个重要课题.一方面,由于允许保险公司和金融机构在金融市场中进行投资,最优投资问题受到保险公司和金融机构的极大关注.另一方面,保险公司在开展再保险业务时,以减少潜在的利润为代价,将它的部分风险转移给另一方.再保业务过多会显著地降低利润,而再保业务过少即承担的风险过高则会导致偿付不足甚至引发破产.因此,如何选择合理的最优投资和再保险策略,在最大限度地提高收益的同时尽可能地降低风险,在金融和精算界得到了广泛的关注.相比于期望效用最大化准则,均值-方差准则能够使保险人或投资者在其可接受的收益下尽可能地降低风险(由收益的方差量化).注意到,均值-方差准则不仅考虑了收益,同时还考虑了风险.由于其合理性以及实用性,均值-方差准则已成为金融理论中一种比较流行的风险度量工具,并得到了广泛的推广和应用.值得注意的是,由于缺乏期望迭代性(方差不满足可分性),均值-方差准则不再满足Bellman最优性原理,这导致了动态不一致性的问题.对于随机最优控制问题中的动态不一致性问题,目前有两种方法处理:一是寻找最优的“预先承诺策略”;另一种方法是利用博弈论的理论知识寻找动态一致性的策略.针对均值-方差准则,本文研究了若干个最优投资与最优再保险问题.通过运用鞅方法,动态规划原理,HJB方程以及博弈论等理论知识,得到了最优策略和值函数.另外,为了使结果更加直观,本文还给出了一些数值例子加以说明.本文的主要工作包括以下几个部分:1.在跳扩散风险模型及不完全信息下,第三章研究了一个对财富过程有限制的最优投资组合问题.由于财富过程含有约束,本文采用鞅方法来求解此最优化问题,主要分为两个步骤:第一步求解最优的辅助终端财富值;第二步找出在什么条件下此最优的辅助终端财富值为所求的最优财富值,进而求出最优的投资组合策略.利用滤波理论,本文将最初的不完全信息最优化问题转化为完全信息下的最优化问题,进而求得了该问题的最优策略和有效前沿的形式解.另外,在此基础上,文中还探讨了市场不允许卖空的情形,发现:在完全信息下,通过将原问题转化为仅对财富过程有约束的等价问题,可以得到相应的最优结果;然而在不完全信息下,此转换技术不再适用,无法得到相应的最优结果.据我们所知,这是第一个在隐马尔可夫链以及跳扩散模型下考虑财富过程带约束的投资组合工作.2.在跳扩散风险模型以及均值-方差准则下,第四章研究了一个最优投资问题.假设金融市场是由一个无风险资产和两个风险资产构成,其中这两个风险资产的价格过程由跳扩散过程刻画,并且这两个跳过程是相依的.文中还假设风险资产价格过程中的布朗运动之间也是相关的,风险厌恶系数以及一些重要的市场参数例如漂移率波动率以及跳幅度等依赖于一个取值于有限状态的马尔可夫链.进一步,假设卖空是不允许的.由于均值-方差准则不满足期望迭代性,文中利用博弈论知识来求解扩展的HJB方程,不仅证明了微分方程组解的存在唯一性,而且还推导出最优解的显式表达式.文中还通过一些数值分析说明了参数对最优策略的影响以及其背后的经济意义.最后,论文讨论了n(≥3)个风险资产的情形,发现,当Hessian矩阵为正定矩阵时,可以得到类似的结论.3.第五章探讨了相依风险模型(thinning-dependence structure)下的最优再保险策略.即假设与索赔有关的随机源被分为不同的组,每个组导致每个保险类别以一定的概率发生索赔.这种相依风险模型在现实中是普遍存在的.一个典型的例子是,一场严重的车祸不仅会使车辆受损,同时还会导致驾驶员和乘客的受伤.在均值-方差效用准则下,不同于已有的文献,我们要求比例再保险策略限制在[0,1]之间,这使得这个问题更加的复杂和更具有挑战性.基于随机控制理论和相应的扩展HJB方程,当n=2时,文中得到了最优再保险策略和值函数的清晰解,并给出数值分析说明一些重要参数对最优策略的影响.对于n ≥ 3情形,文中给出了求解的方法,即采用截断和降维的方法来求解相应的最优再保险策略和值函数,并以n=3为例,给出了具体的求解过程.据我们所知,这是首个运用博弈论的方法来研究thinning-dependence模型下的最优再保险问题的工作.4.不仅仅专注于金融市场或保险市场,第六章站在保险市场和金融市场的角度探讨了一个最优再保险与最优投资问题.其中,保险风险模型由复合泊松过程刻画,而股票价格过程采用跳扩散模型进行描述.假设总索赔过程和股票价格过程是有关联的,风险厌恶系数以及风险资产的一些参数由马尔可夫链驱动,并且要求市场不允许卖空.本章的一个主要创新在于文中考虑了time-delay的影响,即假设决策者所做的决策不仅取决于当前市场状况,还依赖于过去一些信息,这导致问题的求解更加的困难.在均值-方差效用准则下,利用博弈论等方法,文中推导出最优策略和值函数的清晰解.5.第七章研究了动态一致性下的最优再保险与投资问题.不同于之前章节的风险模型,这一章站在一个只含有风险资产的金融市场里.由于金融市场里不含证券等无风险资产,常用的变量分离方法下得到的微分方程组是高度非线性的使得难以保证其解的存在性和唯一性,从而变量分离的方法在本章不再适用.为此,本文采用另一种方法来求解扩展的HJB方程,不仅给出了最优策略和值函数的形式解,而且证明了解的存在唯一性.同时,对于该风险模型的一些特殊情形,文中也给出了相应的最优结果,并通过数值例子说明了参数对最优策略的影响.与现有的文献相比,本文得到了一些完全不同且有意义的结论.
【学位授予单位】:南京师范大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:F224;F840.4

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