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《江苏师范大学》 2018年
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非线性问题解集连通分支的性质

李伟  
【摘要】:众所周知,物理、化学、生物、地理和经济学等领域中的许多问题都可以通过一个带参数的非线性微分方程来描述.这些问题有一个共同特性:当某个参数超过某一临界值时该问题会由原来的状态变为一个新的状态.人们称这种现象为分歧现象.由于分歧问题在数学乃至其他学科中有着重要的理论意义和广泛的应用背景,因此对分歧理论及其应用的研究一直都是数学研究的重要内容.分歧理论的三个最基本的问题是:局部分歧问题,全局结构问题和应用问题.Krasnosel’skii局部分歧定理首次用拓扑度理论研究了无穷维空间中的分歧问题,建立了参数为分歧点的一个充分条件.P.H.Rabinowitz利用拓扑度方法讨论了从奇数重特征值分歧出的连通分支在整体上的几种可能性,建立了Rabinowitz全局分歧定理.在单重本征值以及方程的适当光滑性的条件下,Crandall-Rabinowitz局部分歧定理证明了解集连通分支在歧点附近是一段光滑曲线.为了更为精细地刻画歧点附近连通分支的走向,一个自然而然的问题是解集无界连通分支以何种方式发自歧点或渐近地趋于歧点或渐近歧点,也就是解集连通分支在分歧点附近是超临界(自歧点或渐近歧点的右侧发出)还是次临界(自歧点或渐近歧点的左侧发出),或者无穷地从一侧到另一侧以振动的方式趋于歧点或渐近歧点.本文将主要研究连通分支的渐近振动问题.本文利用分歧理论,特别是Rabinowitz全局结构定理,Leray-Schauder度方法及细致分析,在非线性项振动的条件下,证明了一个非局部边值问题的正解集发自无穷的连通分支存在性的结果,并证明了这一连通分支无限振动地绕着一参数区间趋于无穷.为得到这样的结果,我们需要克服非线性项不可微所带来的困难,建立了一个不可微抽象算子方程解集发自无穷连通分支的存在结果.我们还需要分析非局部问题正解的性质,建立参数相关的一个重要等式.使用本文的主要结果,可以得到所研究问题当参数取一些值时非局部边值问题无穷多个解存在的结果.
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