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分形拟微分算子在微分方程中的应用研究

蔡洁洁  
【摘要】:本文基于分形常微分方程和分形偏微分方程的基础知识,研究两种拟微分算子在特定的分形集上的作用,主要研究内容涉及两个方面:一是对Laplace算子在定义域Ω上的边界值问题进行了研究,包括3水平上的Sierpinski垫片(SG3),深入研究SG3的左半定义域上的狄利克雷边界值问题以及关于SG3上的格林函数的具体表达式的求解方法和过程;二是研究形如Hβ=id-Δ+βtrΓ的具有分形位势的薛定谔算子,这里的Δ是R2上的Dirichlet-Laplace算子,Γ为R2中非各向同性分形集,trΓ与迹算子trΓ密切相关.通过引入各向异性Sobolev空间以及正则化的非各向同性分形集,将原来Triebel在各向同性和各向异性分形集上的拟微分算子以及原有的Wely估计的理论结果进一步推广到非各向同性分形集上,并得到其算子负谱的精细估计.


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