信息几何及其应用

【摘要】：信息几何是为了研究统计流形的不变性而诞生的,凸分析及其对偶性是其中很特殊但也很重要的一部分。统计流形在一定的不变原则下被证明具有唯一的黎曼度量,即为Fisher信息阵,以及一对对偶的仿射联络。当其对偶平坦时,我们可以在两个概率分布之间定义一个不变散度。广义的勾股定理可通过对偶联络定义的e一测地线和m一测地线来描述,从而射影定理及其对偶也成立。这篇文章还从微分几何的角度考虑了贝叶斯统计,描述了等仿射几何和贝叶斯统计之间的关系。贝叶斯统计中的先验分布在统计流形上就是一个体积形式,我们应用等仿射几何给出了贝叶斯统计中α-平行先验和Jeffrey先验之间的关系。信息几何中一个典型的例子就是曲指数族,我们从几何的角度考虑了其经典的统计推断和贝叶斯统计。特别地,我们分析了统计量的渐进理论,评估了统计量的各种有效性。作为应用,这篇论文还通过引进特殊的联络介绍了正定矩阵集的微分几何理论,运用这套理论我们获得了矩阵逼近理论的一些有趣的几何解释。