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Helmholtz方程Neumann边界问题的一类高精度有限差分格式

周坚源  
【摘要】:Helmholtz方程在科学与工程计算中都有非常重要的应用。例如电磁学波的衍射问题,周期作用下的动力系统等都可以当做Helmholtz方程的边界问题来进行求解。这些偏微分方程在通常情况下是不具备精确解的,所以我们只能在尽可能减小误差的前提下得到它的近似解。 本文首先介绍了常系数Helmholtz方程目前能到达的最高为六阶的差分格式的构建过程,在构建过程中用到了HODIE方法来对右边项进行离散。并对于Helmholtz方程Neumann边界问题的四阶精度的常用处理方法进行了介绍。本文的主要工作是在此基础上用两种不同的方法将Neumann边界条件的差分离散精度提高到五阶:在第一种方法中,我们首先对Poisson方程的Neumann边界上的导数值用邻近的点进行差分近似,得到一个差分格式。接着将这个格式使用到Helmholtz方程上,分析两者的差异,补足差异的部分来得到。而第二种方法则是通过在Neumann边界上取多个点,利用这些点的一阶导数值是已知的来进行差分近似,得到附近点的一个关系式来构造出一个差分格式。这两种方法都使得Helmholtz方程Neumann边界问题的离散精度得到了提高。文章在最后还给出了几个数值例子来验证了这两种Neumann边界上的处理方法是具有五阶精度的。


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