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椭圆变分不等式的间断Galerkin方法

王飞  
【摘要】:由于间断Galerkin方法在构造局部形函数上有很大的灵活性,且能高效的解决那些真解是非光滑或振荡的问题,在过去的二十多年中,作为一种数值方法,它被广泛的用于解决许多数学及物理问题。然而,用间断Galerkin方法解变分不等式问题却很少有研究结果。原因之一是变分不等式的非线性性使得很难构造和分析其间断Galerkin格式。而我们知道,变分不等式是一类非常重要的非线性问题,并且有很广泛的应用,如:弹塑性力学,接触力学,单边问题,热控制问题等。这篇博士论文主要讨论用间断Galerkin方法求解第一类和第二类变分不等式问题,并且给出误差分析。 在第二章,解决椭圆边值问题的九种间断Galerkin方法被推广到求解障碍问题。障碍问题是典型的第一类椭圆变分不等式问题。我们证明了这些间断Galerkin格式的相容性,并给出了先验误差估计,其中线性有限元达到了最优收敛阶。我们还给出了两个用局部间断Galerkin方法解障碍问题的数值例子,从数值方面验证了误差收敛阶符合理论预期。进一步,在第三章,我们研究了用间断Galerkin方法解障碍问题的后验误差估计。我们推导出的残量型后验误差估计子被证明是可靠的。误差估计子的有效性也得到了理论上的探索和数值上的证实。基于这个后验误差分析,我们提出了自适应间断Galerkin算法求解障碍问题。在第三章的最后,我们报告了用自适应局部间断Galerkin方法解L形区域上的障碍问题的数值实验。数值结果表明要得到同样的误差水平,比起一致加密,自适应算法节省了大量的时间和内存。 简化的摩擦问题是第二类椭圆变分不等式.这类变分不等式的特点是,在它们的双线性型式中含有不可微分项.我们在第四章讨论关于此问题的九种间断Galerkin方法.我们证明了这些间断Galerkin格式的相容性,并给出这些格式的关于范数(?)·(?)*的有界性和稳定性.然后,我们分析了这些间断Galerkin方法的误差,并对任意非负的局部多项式次数p,得到了先验误差估计(?)u-uh(?)*≤Ch(p+1)/2注意,当p=1,即使用线性元时,这些间断Galerkin方法达到了最优收敛阶. 在第五章,间断Galerkin方法被用来解另外一个第一类椭圆变分不等式,即非常有名的Signorini(?)题.它是一个弹性静力学问题,描述一个弹性体与一个刚体表面之间发生无摩擦的接触,其静态平衡时的位置.我们给出了推导Signorini司题的原始间断Galerkin格式的过程.在选取合适的数值通量之后,我们提出了五种相容且稳定的线性元间断Galerkin格式.然后,我们给出了这五种格式统一的误差分析,并证明了它们的收敛阶是最优的.最后,我们报告了一个数值例子,数值结果证实了理论的收敛阶. 在第六章,我们推广了关于Kirchhoff板问题的三个C0型间断Galerkin方法,并提出了另外两个新的C0间断Galerkin方法去求解一个四阶椭圆变分不等式.用协调有限元方法解四阶问题需要局部多项式次数p≥5,这导致了构造和实施此方法的复杂性.因此,一般地采用非协调有限元方法作为替代.在求解四阶问题时,C0间断Galerkin方法是在C0连续的有限元空间中寻找近似解.和完全间断Galerkin方法不一样,C0型间断Galerkin方法不会把单元边界上的自由度加倍.对四阶椭圆变分不等式的C。间断Galerkin方法,我们用统一的形式给出了先验误差估计.


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