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《浙江大学》 2009年
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螺线和正交多项式在CAGD中的应用

蔡华辉  
【摘要】:本文主题为计算机辅助几何设计中几类曲线的表示、拼接与逼近,特别对螺线和正交多项式在计算机辅助几何设计中的应用进行了深入的研究,主要获得了以下一些创新成果. (1)基于道路设计的工程需要,构造了曲率单调且保号的起点曲率为零的平面三次C-Bezier螺线.利用这条螺线,详细推导了在道路设计等工业应用中,直线和圆弧之间的过渡曲线算法.如同工程中已使用回旋曲线来过渡一样,直线和圆弧之间用一条螺线过渡,圆弧与圆弧之间用一对C型或S型螺线过渡,两条直线之间用一对螺线过渡,圆包含圆弧时用一条螺线过渡.在前4种情况中均给出了螺线的具体表达式,第5种情况下不一定有解.由于直线、圆弧也能用C-Bezier曲线精确表示,可以在C-Bezier模式下统一处理整条道路设计问题,避免了以往采用Fresnel积分所表示的回旋曲线,不适合于在计算机辅助设计系统使用的情况. (2)构造了带有可调参数的单段C-Bezier曲线光滑地拼接前后两条圆弧的算法.在S型过渡的场合,给出了一条带参数的曲率单调的C-Bezier曲线,讨论了这条曲线能拼接两条圆弧的半径范围,其结果优于使用Bezier螺线的老方法;在C型过渡的场合,给出了一条带参数的内部仅含一个曲率极值点的C-Bezier曲线.所有过渡曲线的具体算法均有详细介绍.用本方法设计的道路线型,与老方法相比具有以下三个优越性:模式统一;可用参数调节形状;拼接曲线仅有一段,且算法归结为求解低次方程的正根,故计算简单,容易实现. (3)为了适合当前计算机辅助设计系统中的曲线形式和工业设计中的美学需要,提出了对数螺线段的两种逼近方法.第一种利用s-Power级数,首先给出了s-Power系数的计算公式,提出了对数螺线段的快速多项式逼近算法,同时也给出了对数螺线的等距曲线的具体表达式及其s-Power逼近算法.第二种首先推导出两端点C-Bezier形式的G2 Hermite插值公式,提出了对数螺线的C-Bezie形式的G2 Hermite插值逼近算法. (4)为了在计算机辅助几何设计中,有效地求解曲线或曲面的最小平方逼近问题,给出了具有边界约束特征的加权正交基与Bernstein基之间的转换矩阵,并且利用该矩阵,给出了两个具体应用:(ⅰ)得到了在Jacobi加权L2范数下基于正交基的Bezier曲线约束最佳降多阶逼近算法,给出了具体的端点约束最佳降多阶矩阵,且给出了该降阶逼近的可预报的误差公式.同时提出了在L2,L1,L∞范数下适合于最佳降阶逼近的相应Jacobi基的权函数的选取方案.(ⅱ)求解多项式反函数是CAGD中的一个基本问题.利用约束Jacobi基作为有效工具,提出带端点Ck约束的反函数逼近算法.该算法稳定、简易,克服了以往计算反函数的系数时每次逼近系数需全部重新计算的缺陷,同时给出了该算法在PH曲线准弧长参数化中的应用. (5)为了在计算机辅助几何设计中,有效的求解三角域上Bezier曲面的最小平方逼近问题,给出了三角域上双变量Jacobi和Bernstein基的相互转换矩阵.首先利用Bernstein基构造了三角域上的Jacobi多项式,然后利用单变量Jacobi和Bernstein基的转换关系,给出了三角域上双变量Bernstein的Jacobi基的相互转换矩阵,并且利用该矩阵,得到了在加权L2范数下基于正交基的Bezier曲面最佳降多阶逼近算法,给出了具体的最佳降多阶矩阵,且给出了该降阶逼近的可预报的误差公式.
【学位授予单位】:浙江大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:TP391.72

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【参考文献】
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