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《浙江大学》 2010年
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CAD中变次数B样条的理论及其应用研究

沈莞蔷  
【摘要】:B样条是现今CAD造型系统的主要工具,但由于它各段非0的多项式的次数相同,因此,在造型不同次数的分段多项式曲线时,低次段要用和最高次段一样多的控制顶点来表示,这就产生了冗余数据,并增加了计算量.克服这一缺点的是变次数B样条,它允许不同次数的分段多项式,有类似于B样条的性质,且包含B样条,是B样条的推广.但是长期以来,因为缺乏基函数的定义或者只限于一些低次的结果,使得变次数B样条的研究进展缓慢. 本文根据在节点处连续阶的不同,定义了不同的两组次数任意的变次数B样条基函数,它们分别张成不同的变次数样条空间.具体成果有: 1在相邻m次和n次多项式段间节点处的连续阶不低于min{m,n}减去该节点重数的要求下,使用积分递推式定义了一组变次数B样条基函数,它们构成其张成空间中的唯一的规范化B基,因此具有最优保形性,是B样条基函数的最直接推广.它们相应的变次数B样条曲线具有凸包、几何不变、变差缩减等性质.我们还给出了曲线的插节点和递归求值公式,以及基函数张成的变次数样条空间. 2在实际应用中,上述连续性可能不够.因此在m≠n的情况下,要求相邻m次和n次多项式段间节点处的连续阶不低于min{m,n},这是基函数存在的前提下可以达到的最高连续阶.在这样的连续性要求下,使用递推算法定义了一组变次数B样条基函数.这组基函数具有正性、局部支撑性、规范性、线性无关性和最高连续性,相应的曲线满足凸包、几何不变、局部控制等性质.与Sederberg等人的结果作比较,我们的变次数B样条曲线或者包含他们的低次情况,或者比他们的具有更高的连续阶.我们还将这组变次数B样条基函数与最优保形性的基函数作比较,也给出了它们的变次数样条空间. 3研究了最优保形性变次数B样条基函数的空间,给出该空间中另一类似于截断幂基的基组,并用它显式表示了最优保形性变次数B样条基函数,从而加深对基函数及其空间的了解.该显式表示方法是一种统一的方法,它适用于所有由类似积分方法定义的基函数,也包括最高连续阶的变次数B样条基函数.
【学位授予单位】:浙江大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:TP391.72

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