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配点法及其在光波导计算中的应用研究

宋仁成  
【摘要】:配点法因为形式简单、计算效率高而成为数值求解偏微分方程的一种常用方法。其思想是将解展开成一组基的组合,并在给定的节点上满足方程和边界条件,从而确定未知的展开系数。本文主要研究了两种典型的具有互补性的配点法,即正规化无网格法(Regularized meshless method(RMM))和切比雪夫拟谱方法(Chebyshev pseudospectral method(CPM)),并根据它们不同的特点将其分别应用于光波导计算。本文的主要内容包括: 针对非规则区域上Laplace和Helmholtz问题,系统地提出多种新型的RMM,克服了原有RMM只能求解规则区域问题的缺点。推导了RMM的解析对角元公式,并分析了影响RMM求解精度的因素。应用新型的RMM结合Chebfun软件包求解了椭圆波导的截止波长,极大地提高了求解非规则形状光波导模式的效率和稳定性。 提出了求解圆对称波导全矢量模的一维多区域切比雪夫拟谱方法。该方法基于区域分解思想,克服了电磁场在介质交界面上导数不连续的困难,使解具有谱精度;利用圆波导的对称性,降低了问题的维数,只需求解以径向坐标为变量的一维全矢量模式方程;采用完美匹配层(PML)截断无界区域,可准确地计算圆对称波导的传播模和泄漏模。相对于已有的数值方法,该方法大大地提高了求解圆波导模式的精度和计算效率。 基于原有的计算无损波导传播的算子步进方法(operator marching method (OMM)),本文提出了可分别用于求解单层和多层无界损耗波导传播的改进的二阶和四阶OMM。改进的二阶OMM(OMM2)采用了新的局部基变换技术,克服了原方法因损耗波导具有复波数而导致的局部基变换技术失效和计算不稳定的困难。改进的四阶OMM(OMM4)引入PML截断无界区域并采用多区域拟谱方法离散算子,从根本上避免了使用局部基变换技术,大大减少了计算量。另外OMM4还可通过重心切比雪夫插值公式重建其它位置波场,提高了计算效率。本文的改进OMM大大地扩展了原方法的适用范围,且同样具有内存占用少、计算速度快和步长大等优点。


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