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《浙江大学》 2010年
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非线性微分方程的样条函数求解方法

邵新平  
【摘要】:随着计算机技术的高速发展,样条函数在数值逼近、CAGD(计算机辅助几何设计)、微分方程数值解等领域的应用越来越广泛,已成为非常有效的数学工具。在有限元理论中,样条函数理论也是非常重要的部分。众所周知,常用有限元空间是某一种特殊的样条函数空间[40],它的构造方法选取不仅关系数值求解的效率与有效性,而且是有限元方法本身能否成功的关键[81]。此外,基于样条函数的配点法与差分格式构造在微分方程数值解中也受到广泛的关注[56]。 本文研究的主要内容是样条函数在非线性微分方程数值解中的应用。大家知道,一元B-样条与多元样条的B-形式(B-网),由于其优秀的性质[8,49],是人们在选择时优先考虑的。这些样条具有良好的性质,给数值分析和实际应用带来极大的方便,同时在数值实现上,它们有易于计算机存储、计算等优点。采用B-样条函数作为基函数求解微分方程数值解的文章不胜枚举。近年来,Ming-Jun Lai等学者[50]把多元样条的B-形式应用于多元函数的拟合、逼近,以及偏微分方程数值解。利用B-形式在计算函数值与计算导数的高效性、稳定性特点,得到了很多令人满意的算法。 本论文分为五章。第一章主要内容是样条函数的发展历史及其重要文献综述。在一维情况,主要介绍了B-样条及其一些重要的性质。更多值得关注的是二元样条的B-形式、及其在B-形式下的相关基本算法,如de Casteljau算法,该算法能够给样条函数求值,求导与内积计算,提供快速有效的实现。多元样条的全局光滑性条件是表示多元样条的重要理论基础。用矩阵形式表示二元样条在每个三角形单元边界上光滑性条件与边界条件可以给计算带来很大方便。此章也给出了低阶多项式的高阶表示定理,这是局部p-自适应计算的基础,为文中基于提高多项式次数的两重空间方法(two-level method)提供算法基础。最后,简要介绍了微分方程的弱解理论和Green函数理论及其物理意义,前者是有限元方法的数学基础。Green函数是研究微分方程解性质的重要工具,在迭代收敛性证明中将会经常用到它。 第二章主要讨论了非线性两点奇异边值问题的n阶B-样条的配点方法及其求值算法。本章详细地讨论了线性奇异算子L0u≡-u″(x)-α/xu′(x)的正则性,即当u满足u′(0)=0,u(1)=0时,有估计c1‖u″‖≤‖L0u‖≤c2‖u″‖。利用算子的极大模原理,推导奇异边值问题解的存在性,可得当非线性函数f(x,u)满足一定的条件时,存在一个单调的序列收敛到精确解。通过采用Picard序列迭代,分别用基于最小二乘的配点方法,基于变分的配点法与直接配点法对方程求解。利用Green函数理论与压缩映射原理对这些方法作出误差与收敛性分析。接着通过一些数值实例以及与其它数值方法比较来说明B-样条方法的有效性。 第三章主要讨论了拟线性椭圆边值问题的二元样条B-形式数值解。类似一维情形,极大模原理与Green函数理论保证了Picard迭代的单调收敛性。同有限元方法相似,在给定的样条空间中,用微分方程等价的变分极小问题离散,加上单元的连续性条件与边值条件,最终将问题转化为与变分形式等价的鞍点问题。文中介绍了一个对于这类鞍点问题非常有效的迭代算法,并给出了收敛的条件。同时也证明了:当初值选取比较合适时其变分形式的牛顿序列是具有二阶收敛的。文章还给出非线性函数数值积分(Gaussian积分)的矩阵乘积形式,可以减少大量的计算时间。本章还介绍了拟线性方程求解的h-自适应与p-自适应算法。样条函数方法的自适应过程可以参考文献[53],由于非线性项的存在,在后验误差因子的选取上是有所不同的。 当网格剖分比较细且多项式次数比较高时,求解非线性方程的整体工作量是比较大的。两重空间方法(two-level method)为解决这类问题提供了很好的思路。基于网格加密(h-型)的两重空间即两网格(two-grid method)样条函数方法可以参考[91]。在第四章中,鉴于样条函数方法自身的特点,我们考虑提高多项式次数的两重空间方法(p-version two-level method)。这些算法的中心思想是:在子空间(低次样条空间)上去计算非线性问题,通常子空间维数比较小,求解这样的问题不会太困难;下一步再利用计算的结果在原空间(高次样条空间)中作为初始值进行校正。这里我们称之为p-形式的两重空间方法。低阶多项式B-形式的高阶表示形式给这些算法的实现提供了很好的支持。根据文献[92],我们分别介绍基于Picard迭代、混合迭代、Newton迭代以及修正Newton迭代的p-形式两重空间方法。算法的误差估计与收敛性分析确定了高阶样条空间与子空间的维数(多项式次数)关系。接着,我们运用这些算法计算数值实例,与单重空间的样条函数方法做比较,不难发现两重空间方法具有更高的计算效率,节省相当可观的计算时间。 第五章主要讨论二维Navier-Stokes(NS)方程流函数形式的p-形式两重空间求解法(p-version two-level method)。NS方程任意d次r阶光滑(d≥3r+2)的样条函数高精度求解方法可以参考[51]。然而,这种高精度需要代价的,当多项式次数比较高或网格剖分比较细时,离散非线性方程求解,不管Newton还是Picard迭代都有较大的计算量。我们考虑应用提高多项式次数的两重空间方法求解流函数形式NS方程,分别是基于Picard迭代与Newton迭代的p-形式的两重空间方法。接着,提出了一个修正Newton迭代法的两重空间方法求解流函数形式NS方程,并分析其收敛阶数。为了方便实现,文中也给出算法的矩阵形式。最后,给出具体的数值例子进一步说明提高多项式次数的两重空间方法具有明显优势。
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