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Sturm-Liouville算子的矩阵逼近及其应用

张学仓  
【摘要】:Sturm-Liouville(SL)算子是数学和物理中最重要的微分算子之一。SL算子的特征谱逼近本身具有重要的实际意义,同时也是很多其它的微分方程数值求解的基础。用传统的有限差分和有限元以及它们的渐近修正方法离散SL问题得到的广义矩阵特征值问题中,只有很少一部分谱较精确地逼近SL算子的谱。已有的数值方法对于SL算子的高阶特征谱的计算都还不够精确和高效。高阶特征谱难以计算的主要原因是越高阶的特征函数越高频地振荡。高频振荡解的逼近是目前数值计算的热点和难点问题之一 一个理想的逼近算子是其所有的谱都很精确地逼近SL算子的谱。本论文的主要目的就是寻找尽可能理想的有限矩阵算子逼近无穷维空间上的SL算子。从函数逼近论的角度看,这相当于是寻找一个好的有限维子空间来逼近未知解所在的无穷维空间或其对偶空间。通过在子空间上的插值投影,就可以得到逼近微分算子的微分矩阵。逼近的精度完全取决于插值基函数、离散点和插值公式的选取。本文分别以代数多项式和三角多项式为基函数,从插值的收敛性、稳定性和计算效率综合考虑离散点和插值公式的选取,系统地构造了逼近SL算子的微分矩阵,并分析和验证了它们的高精度特性。 首先,对于代数多项式基,本文通过对插值过程的仔细分析,充分说明了谱方法中常用的Chebyshev点和重心Lagrange插值公式是最佳的选择;通过对边界条件的消去处理,得到了满足各种边界条件的Chebyshev微分矩阵;证明了对一类奇异SL算子,Chebyshev微分矩阵是理想的;对于正则SL算子,Chebyshev微分矩阵只有约π/2的特征谱收敛,本论文用基于共形映射和重心有理插值公式的改进的Chebyshev微分矩阵来逼近正则SL算子,得到更精确的结果;分别把Chebyshev微分矩阵和改进的微分矩阵对常系数正则SL算子的π/2和收敛性推广到变系数情形。 其次,对于三角多项式基,本文根据不同的边界条件,选择自动满足边界条件的三角多项式基来构造微分矩阵;除周期边界对应的微分矩阵为已有的Fourier拟谱方法外,给出了其它边界条件对应的新的三角多项式重心插值公式和微分矩阵,并第一次用它们来求解SL问题。证明了对于常系数正则SL算子,三角多项式微分矩阵是理想的;对于变系数正则SL算子,三角多项式微分矩阵的精度至少和渐近修正的有限差分或有限元方法是一样的,而且对于很多变系数问题可以达到指数精度。 最后,本文还给出了SL算子的高精度微分矩阵逼近的几个重要应用。一类应用就是求解特征谱问题,如Schrodinger算子的特征谱计算、波导的模式计算等本质上都是求解一个SL问题。特别地,本文从算子谱逼近的角度研究了人工边界条件和完美匹配层PML,并基于此得到一个波导模式计算的统一算法,高精度计算了一直以来难以计算的泄露模。另一类应用是求解包含SL算子的其它微分方程。特别地,本文从算子谱逼近的角度讨论了高波数Helmholtz方程的数值求解存在困难的原因,并利用微分矩阵给出了高精度的求解结果;用高精度的微分矩阵逼近二阶时间演化偏微分方程和单向Helmholtz方程中的SL算子,结合常微分方程组的指数积分子求解,得到了这类偏微分方程简洁、高精度、高效率的数值解法。


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