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耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用

骆天舒  
【摘要】:经典力学中所研究大部分系统不是保守系统,所以很难将这类系统表示为经典的哈密顿力学形式(偶数维)以及与此等效的拉格朗日力学形形式或最小作用量变分原理形式。由于这几种数学形式是数值计算方法中辛几何算法的的基础和现代物理学的基础,所以极大地限制了辛几何算法在耗散系统的数值模拟领域的应用以及耗散系统的量子化等理论物理领域中的应用。耗散动力学系统长时间跟踪问题是当前非线性力学研究领域的难点之一。 对于低维耗散动力学系统,可以用各种半解析方法(小参数法,摄动法)求解。即便如此,对于长时间跟踪,也存在所谓久期项问题(由方法本身的误差累积导致)。对于高维耗散动力系统,直接应用解析方法显然是十分困难的。因此多采用数值方法求解该类问题。但是不同的数值方法求解的结果可能会有较大偏差,甚至相差甚远,而且大部分问题是缺乏判断其算法偏差量的参考标准的。所以为这类问题挑选或者创立公认可行的数值积分方法,成为一个问题。我国著名学者冯康先生提出并研究了在保守系统领域的这类问题,给出了辛几何算法的思想并系统的表述构造辛差分格式的一般方法,指出了原有差分格式中的适于长时间跟踪的格式。钟万勰先生发展了这种思想,进一步提出了时间有限元和精细积分的的思想,并对耗散动力学系统引入辛算法作了尝试。本文的最初的目的是在转子稳定性分析等耗散动力学问题中使用辛数值积分方法(或者说利用辛几何算法的思想找到合适的算法)。为达到此目的研究了耗散系统和保守系统的一种特殊关系,在此基础上用相应的保守系统的数值解替代原耗散系统,即将辛数值方法应用求解相应的保守系统来得到所要研究系统的数值解。在这种关系的基础上,借鉴流体力学的广义哈密顿方程和最小作用量变分原理,将耗散系统表示成一种无穷维广义哈密顿系统,相应地带来一种新型的最小作用量变分原理。可以将冯康文献中广义哈密顿系统辛算法的思想应用于求解这个特殊的无穷维哈密顿系统。上述最小作用量变分原理,可以和路径积分量子力学形式结合,应用于量子力学领域。以上工作的主要创新点可以归纳如下: 1.发现了耗散力学系统和某一保守力学系统相曲线重合原理:对于一个耗散力学系统和它一个初始条件,对应于不同时间区段一定存在一族保守力学系统,这族保守力学系统和耗散力学系统有且仅有一条共同的相曲线;这族保守系统的哈密顿量就是前述耗散力学系统的总能。对于非保守的振动问题来说,这个保守系统就是一个非线性保守力学系统,其中的保守力在某一初始条件下和非保守振子系统的阻尼力和恢复力之和相等,那么其在相空间运动轨迹必然相同。在此基础上,引入了无穷维广义哈密顿格式来表示耗散力学系统,在其中定义了一个新的哈密顿量,并且引入了新的泊松括号,这个格式类似于表示等离子问题和理想流体的广义哈密顿格式。在这里把耗散力学系统看作是相空间内一种特殊流体(内部无压力),初始条件看作是物质坐标,上述轨迹重合的保守力学系统的哈密顿量看作是哈密顿量密度。对应于经典的哈密顿变分原理,这个广义哈密顿格式等效于一个新的变分原理。在这个变分原理中作用量为相空间的某一区域中所有微元的作用量之和。 2.从创新点1出发本文研究了有阻尼振动问题的中心差分格式,发现中心差分格式对于对应于原系统的保守非线性保守力学系统族不仅是保辛的而且是保总能的。据此对现有显式辛数值积分方法加以改造,就得到了有阻尼振动问题的一类显式辛数值积分方法。并且在这个广义哈密顿格式的基础上,利用冯康的关于广义哈密顿的辛数值积分构造的方法,也得到了上述显式辛数值积分方法。 3.利用新变分原理代替经典的变分原理,修改Feynman的路径积分原理,得到新的有阻尼粒子的量子传播子公式。 目前应用本文的理论,可以将一类显式辛数值积分方法用于如在非线性力作用下的转子运动的数值模拟;可以本文的理论推广至量子力学的阻尼粒子量子化领域,得到类似于经典的Caldirola-Kanai方法所的结果,但似乎更为合理。


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