区间牛顿法及其在化工计算中的应用

【摘要】： 化工过程模拟、优化和设计的核心问题是求解非线性方程组地f(x)=0，其中f：R~n→R~n，x∈R~n。这些方程组具有高度的非线性并且可能含有多个解。传统的求解方法如牛顿迭代法和拟牛顿迭代法都是典型的局部收敛性方法。这些方法的求解过程依赖于初始值的选取，不能可靠地收敛；并且若方程组存在多个解，这些方法至多只能求得其中一个解。 本文讨论了使用区间牛顿法来求解非线性方程组。该方法是一种全局收敛性的方法，求解过程不依赖于初始区间向量的选择。由于能自动处理舍入误差，区间牛顿法不仅能够在理论上，而且能够在计算上保证找到非线性方程组的所有解；若使用区间牛顿法不能找到任何实数解，则可断定在给定的区间向量范围内方程组无解。由于区间牛顿法强壮的全局收敛性和同时求得多个解的能力使得区间牛顿法广泛地应用在化工计算领域，如：相稳定性分析、反应共沸物的判断及组成确定、稳态过程模拟、参数估计等等。应用结果表明，区间牛顿法能有效地解决这些问题。 但是由于区间牛顿法是以区间为迭代单位，其计算量远大于一般的牛顿类迭代法，其计算时间随着方程组维数n的增加而呈指数增长；而且即使在维数n很小时，若方程组的非线性程度很强或方程组为病态，所需的计算时间也很大。 为此，本文讨论了两种改进方法以显著减少区间牛顿法的计算量和计算时间，提高算法应用的可实施性和有效性： 1．有界变量单纯形法：首先将非线性问题转化为带约束条件的线性规划问题，该线性规划的可行域包含了所给区间向量范围内的所有解，然后使用有界变量的单纯形法判断可行域是否为空。若可行域为空，则可排除该区间向量。仿真结果表明，该改进算法可大大地减少迭代搜索次数。 2．使用混合预处理和优化实数向量：所谓混合预处理，就是联合了标准中点逆矩阵预处理和中枢预处理。优化实数向量就是选择合适的实数向量来缩小线性区间等式的解向量N(X)所包括的范围。两种方法相结合，可大大地减少子区间向量被测试的次数。 综上所述，以上两种改进方法都能大大地减少区间牛顿法的迭代次数和计算时间，提高了算法的有效性和高效性。