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求非线性方程的迭代方法及其在求解微分方程和积分方程中的应用

梁仙红  
【摘要】: 设X,Y同为实或复的Banach空间,F:D(?)X→Y为非线性算子,求解非线性方程 F(x)=0 的算法问题,无论是从理论上还是从实践上考虑,都是相当重要的数学内容,有两个事实为数值工作者致力于求解非线性方程的有效算法的研究提供了充足的理由,其一:理论上高于4次的方程不存在由方程系数确定的根的解析表示;其二:大多数与方程根有关的问题并不要求得到方程的真实解,而满足于获得根的近似值,当然,这个近似解与真实解之间的误差应当被控制在具体问题所能容忍的范围内。因此历来就不只是专业数值分析者的研究课题。几个世纪以来,许多工程技术人员,还有许多纯粹的数学家,他们都曾从自己的需要或兴趣出发,去对它做了不同角度的研究,在研究这个课题的数学家中,不少还是他们时代的数学的代表人物,他们在这个课题上的工作,也反映了各个时代的数学面貌。在创立微积分的十七世纪,Newton和Halley分别发明了用这种新的数学工具解方程的、现在普遍以他们的名字命名的迭代法;在微积分技巧蓬勃发展的十八世纪,Euler和lagrange级数的部分和可以形成成员众多的迭代族;在开始注重分析严密性的十九世纪,Cauchy建立了优级数技巧,这个技巧不断地被以后的事实证明对于研究方程近似解序列的收敛性是卓有成效的。 对于迭代法收敛性的研究,数值工作者们做了大量的工作(见文后的参考文献),但我们知道与迭代过程相关的收敛性定理通常有三种类型:a)局部的;b)半局部的;c)全局的或整体的收敛性定理。局部收敛性定理固然很重要,因为它不仅提供了一个关于收敛性的结果,而且还表征着某些迭代过程在一个解的邻域内的理论性态。但是,局部的收敛性定理因其对方程零点的依赖性而具有一定的局限性,寻求不依赖方程零点的半局部或全局的收敛性定理就是十分必要的了。同时,计算效率也至关重要,人们往往对不同的算法作出选择,以尽可能的避免使用低效率的算法。因此,我们在考虑算法收敛阶的同时,对算法的计算过程中的每一步的计算量的考虑也尤为关心,即对算法的计算效能作出要求。 几百年来,各种各样的迭代法被人们提了出来其中,最为经典的有二阶收敛的Newton迭代,三阶收敛的Chebyshev迭代、Halley迭代及Newton凸加速(又称为超Halley)迭代;还有实用的收敛阶为1+2~(2/1)的King-Werner迭代等等。近几十年来,计算机的迅猛发展有力地推动着数值分析的研究工作。一些经典的方法经过严格的实践检验,显露出了若干缺陷,而这些缺陷在计算量非常大的实际问题中碰到的非线性方程的求解时,显 得尤为突出. 本文的第一章首先给出了Cheb”hev一H心ey族迭代在数域K上的变形,并给出了变 形迭代族在各种条件下的半局部收敛性定理.并用数值例子验证了理论结果,说明了它 在求实变函数和复变函数零点的应用.有关它的计算效能的讨论见附录. 第二章则提出了一个仅含一阶导数和一阶差商的迭代法(见算法(2.1.1)),它事实上 可看成是Halley迭代法在Ban以五空间中的变形,并研究了此方法的半局部收敛性定理 和局部收敛性定理.同时,研究了Che勿shev一H动ey族迭代在Ban拟土空间中的另一类变 形一Jarn“t型迭代族在F的二阶导数满足卜H砚der条件下的半局部收敛行为.同时说明 了当函数烈x)的性质不够好时,算法2 .11收敛速度要大大快于Jarrat七型迭代的收敛速 度,并用数值例子验证了所有的理论结果.同时用数值例子比较了算法(2 .1.1)与另两个 也仅含一阶导数和一阶差商的算法及两步Newton迭代的收敛阶.并给出了迭代法在求 解积分方程中的应用. 第三章利用第二章所定义的Ban汕空间中的差商代替导数,给出了儿ng劫触比er迭 代的变形(见算法(3 .1.3)),并给出它的局部收敛性和半局部收敛性定理.这种变形不仅没 有降低的收敛阶,很多时候,变形的King一叭触rner迭代的收敛速度要大大快于King-研/e rner 迭代的收敛速度.并用数值例子验证了理论上结果. 第四章则研究了导数滞后计值的变形Newton迭代的收敛球,并指出当。二1和 ,二2时,定理夺1‘1的结论中的收敛半径是最优的,同时研究了算子F的仿射变换及 坐标变换对Newton迭代的收敛球的影响。 附录中给出了本文所提到的所有迭代算法的收敛阶、每步迭代的计值量及1丫aub效 率指标,并给出了数值例子。 下面将介绍各章的详细内容。 第一章c bebyshev一Halley族迭代在数域上的变形 1一1算法的提出 二十世纪九十年代,J .M.Guti析。和MA.Hern如dez等人提出了一族带参数。的三 阶收敛的迭代方法(见参考文献{1,2」)。 工”+1= X。一{,+告:F(X。)。,一LF(X。):一}二‘(X。)一F(X。), 。=o,i,2,…(1 .1·1) 其中 场(x)二F’冈一‘厂闰F’(x)一‘烈劝 当a二o时,(1.1.1)即为Che衍shev迭代法 X·+1一。‘+告:F(X。):二’(X。)一尸(二。),n一。,l,2, 当J一合时,由(1‘l·1)可以得到H、迭代法 (1 .1.2) r”+1一!,一告:F(二。):一二‘(X。)一二(X。),n一。,,,2,… (1 .1.3) 当,二1时, 工几+1二 (1.1.1)即为Newton凸加速迭代方


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