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《浙江大学》 2003年
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发展型方程中若干问题的研究

章志飞  
【摘要】: 具有近二百年发展历史的调和分析至今仍是一个十分活跃的数学分支,它的方法几乎渗透到数学的所有领域,特别是对偏微分方程的应用,愈来愈受到人们的重视。例如第三代Calderon-Zygmund算子及T(1),T(b)定理,对于非光滑区域上的一类椭圆边值问题,提供了用位势求解的理论基础[46];又如以振荡积分估计及位势估计为基础,建立线性发展方程的L~p-L~q估计以及相应的时空估计,为研究发展型方程提供了新的工作空间,这方面的工作参见T.Tao的主页(http://www.math.ucla.edu/tao)中所列的参考文献;此外调和分析中的Littlewood-Paley理论,Hardy空间的实变理论,对波映照方程,Euler方程,Navier-Stokes方程的求解提供了简单而有力的工具[18,27,47,48,49,60,61]。 本文以调和分析技术为基础,对偏微分方程中的若干问题作了研究。全文共分四章:第一章研究Navier-Stokes方程弱解的正则性;第二章研究修正Navier-Stokes方程的柯西问题;第三章研究一个广义KdV方程在负指数Sobolev空间中的整体适定性;第四章研究一个二维半线性Schrōdinger方程的整体适定性。下面分别阐述各章的主要内容: 第一章考虑Navier一Stokes方程的初值问题 。。一△二+。·甲二十V7r二无 inR几x(O.T) (NS) 甲·u=0,in 。(0)=a,in Rnx(0,T) R几 (0 .0.1) 其中。二(。‘(亡,x),…,。“(,,二))和7r二二(t,x)分别表示流体在(t,习处的流速和压力, f二(f‘(t,x),…,了“(t,x))和a二(al(x),…,an(x”分别为给定的外力和初始流速. (0 0.1)描述不可压缩枯性流体的运动. 当。任五2(R”)n,甲·a=o时,J.Ler盯和E.Hop叮43,331构造T(NS)方程的一 个整体弱解u(t,x)任L‘(o,T;石2(Rn)”)n石2(o,T:万‘(Rn)“).众所周知,当。=2时, 弱解是正则和惟一的,参见[63}.当。七3时,弱解的正则性和惟一性仍是一个公 开的问题.发展(NS)方程的正则性理论有两条路线:一条是给出弱解的正则性判 别;另外一条是研究弱解更好的部分正则性.关于弱解的部分正则性,目前最好的 结果是由L .c盯farelli,R.Kohn,L.Nirenberg【111得到的,他们证明了某种弱解的奇异 点集的一维Hausdorff测度为0.对于弱解的正则性半IJ别,.r.Serrin{52,53}首先作了 研究,后来,Fabes,Jones和形viere!25},Sohr{54},Gigal3O〕,Struwe{56},Takahashi!57」 推广和改进了Serrin的结果,证明若弱解。。护(0,毛厂(R”)n),苦+警三‘,。r三 二,则。是正则的.H.BeiraodaVeiga〔11进一步推广他们的结果,证明若甲。任 ,(0,T;Lr(俨)“),其中号十攀二2,晋:兰oc,则。也是正则的· 自然要问,能否找到更大的函数类,使得在这个类中的弱解是正则的.第一章主要 致力于这方面的研究,得到了弱解的一个更大正则类.主要思想来源于T.Jho【60,叫 行 在临界Sobolev空间中波映照正则性的工作,证明的关键在于对(NS)方程的非线性 项。 定理 ·,二用一种称之为“Littlewood一Paley triehotomy”的分解. 本章的主要结果是: 0.0.1(先验估计) 设。(‘,x)为阴呀夕方程在旧,T)上的正则解,若。。尸(0,T;卑,co(R“)“),号+登= 1+s,0三3三1,击:三oo,则对任意的p全2,a七O,存在与。无关的常数C0 使得 , u oC([o,T);劣·p(几。)。)n:”(o,::户g+吞p(*n)n). (0 .0.2) 且 。羚‘l·(‘’‘’”;一(一)+for 11·(下’}‘二;·; 三C!tall。;·(;·。[‘+exp(j0T{I“(了)}l么 定理0.0.2(判别定理) ·’(尺”) ,一(;tt)d7-)1. (0 .0.3) 设。。尸(R。)n,甲·。一0.且。:嘴.z(Rn)n,其中。宁,0三5三1.又设试。,习 为f万S夕方程在(O.T)上的弱解.若 、IJ、,.j 1注口O : On曰 十 今二q “任L?(O,T:B广,戈(Rn)“),其中 几 -一 r n 1+S,—rOC. 1+3一 则。是正则的. 第二章考虑修正Navier一Stokes方程的柯西问题 二。+拜(一么);。+。·v。+甲尹=o, in Rnx(0,T) (MNS) 甲·u=0, in Rnx(0,T) 。(O)=二0 inR几 厂 其中二二(二1(‘,x),…,tL。(t,司),p二风t,习分别表示在仕,x)处未知的流速和压力, 二。为初始流速,拜0为粘性系数.方程(0.0.5)的提出主要出于一些模型中湍流数 值模拟的需要. 本章研究(MNs)方程强解的存在性和惟一性.当。=2时,5.Tourville〔64}对 此作了系统的研究.基于半群s(t)(见2.1节)的尸一厂估计及T.Kat。(341的方法, 我们把他的结果推广到。七2的情形. 定理0·0·3设“‘,;。=击‘,;。、三台,。。。Lp。(R“),v·。。一0,令。==晋(命- 青),则存在T0,使得在[0,T)上‘对Ns夕方程有惟一强解。(t)任C(旧,T),俨(R”” 满足 ta,‘(t)任C(【O,T),Lq(Rn)) (0 .0.6) 。蹂“!}“(‘)}}、一0 (0 .0.7
【学位授予单位】:浙江大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2003
【分类号】:O175

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