对与分形相关的若干科学计算论题的研究

【摘要】： 本文研究与分形相关的若干科学计算的论题。全文分4章。第1章是概述。第2章研究代法，例如Euler迭代E_f~n(x)，在相当广泛的条件下，其收敛球半径的准确值是由Riemann球面上的一个斥性不动点确定的。 Euler迭代的迭代函数为 E_f(x)=x-(I-P_f(x))f′(x)~(-1)f(x)，其中 P_f(x)=-1/2f′(x)~(-1)f″(x)f′(x)~(-1)f(x)。 假设L在区间[0，r_0)有非减并且取正值的导数L′，且L(0)＞0。特别地，L可以使非常数的正系数多项式或具正Madaurin系数的解析函数。令 h(t)=-t+integral from n=0 to((t-u)L(u)du)。 我们证明了 定理2．3．1 对h的Euler迭代在区间(0，r_0)上有唯一的不动点r_E。这是一个斥性的额外不动点。 定理2．3．2 设f在B(x~*，r_E)上满足 ‖f′(x~*)~(-1)f″(x~*)‖≤L(0)和 ‖f′(x~*)~(-1)(f″(x))‖≤integral from n=τρ(x) to ρ(x)(L′(u)du)，其中x~τ=x~*+τ(x-x~*)，0≤τ≤1。则对所有x_0∈B(x~*，r_E)，Euler迭代序列{E_f~n(x_0)}收敛于x~*且满足 ‖E_f~n(x_0)-X~*‖≤q~(3n-1)‖x_0-x~*‖，n=1，2，…这里 。 q=(E_h(t_0)/t_0)~(1/2)＜1，t_0=ρ_0(x_0)。并且收敛球的半径r_E作为仅依赖于L而与f无关的常数，是最好可能的。 对于Smale条件，可以取 浙江大学硕士学位论文：对与分形相关的若干科学计算论题的研究 ，，、Zy L（u）＝MM· ［l—y－） 我们对此绘制了彩图2．4．1．改图还被科学通报第47卷19期（2002）采用为封面． 本章的结果发表于［VfllLW2002］．有待进一步研究的问题是，对于一般三阶的 Euler－Hl 迭代族（2．5．l），讨论其收敛球的准确半径与 iemann球面上的动力行为的关系． 第3章研究分形图形制作的理论和技术问题．为了制作一些迭代法的拟Mandelbrot集， 我们解决了代数曲线的连续跟踪问题．证明了 定理3．2．1 设含复参数t的d次代数方程 x（xl（t））＝＊工（t），t）＝ 0 的 d个根xl＊X xz＊X……，xuO）都是单根，则对每个i＝l，2／··，d，当矿有增量N时， XO）的增量为 j（X（t），t－at）—。。2、 a。It）一一MM＋Uf面广） ‘’t＼’／ d’”＼——”’ 11（xi （）一 xj（t）） jd ，＊ 根据这个定理，设xo）的d个值已经求得，我们可以用Weierst：ffiss并行迭代t”＊咖］来求 XO ＋ At）的 d个值．并行迭代的公式是 f《X’””’．t十凸t） x、－＝X、－‘———，l＝1．二…·．Q· ”’”’d”“’一’’—” 回 回0x”～一x一”且 j二l j＊ 我们取 X。U，＝x、（t）i＝1．2…·．d． 如果仅ti充分小，就有 X。＊十山】＝h血大“’，f＝1．2…·．d． 我们还提出了平面的连续填充算法 这个算法与代数曲线的连续跟踪算法相结合后，我 们能对参数取自一个复平面正方形的代数方程所有根进行正确的编号，从而完成所有拟 Mandelbrot集的制作． 此外，我们还解决了生成SulliVan域的一些理论和技术问题以及表现Julia集和填充Jlllla 集的技术问题，为文献［W1998bl、p 19961、广叮E000］、［WL2001］成功制作了这些高质量 的图形． 本章的部分主要结果发表于［RllWW2000］．有待进一步的工作是尚有大量很有意义的分 形图形需要制作． 第4章研究如何用计算机去搜索规则分形集Hausdoof测度的上方估值问题．通过对典型 例子Sierpinski垫片的剖析，我们实际上提出了下列一套策略：