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在多层无界区域中Helmholtz方程的数值解法及其应用

王丹溪  
【摘要】:本文主要提出了一种在无界区域上求解Helmholtz方程的有效数值解法。 首先,我们研究无界区域上Helmholtz方程的区域有界化问题;以往在无界区域上求解Helmholtz方程的方法是设立假的边界条件将无界的求解区域有界化,如设这些边界条件为第一、第二或第三类边界条件,这种做法只是将原方程求解粗糙地近似化,所以无论是对此近似问题进行精确求解还是离散方程后进行数值计算,解的偏差会变得很大,导致解的逼近效果变差。产生偏差的主要原因在于这样的边界条件实际上并不符合无界区域中波传播的特性(产生了较强的反射波)。基于此缺陷,J.P.Berenger于1994年提出了完美匹配层(Perfectly Matched Layer,简称PML)的概念,1997年Francis Collino针对上述添加的PML,在数学上相当于对坐标做了一个复的伸展变换,把方程转换为一个新的复方程,我们称之为改进的复Helmholtz方程。 其次,在有界区域上求解Helmholtz方程有许多直接的数值方法,如有限元和有限差分法等。但若用有限差分或者有限元方法来处理这样一个水平区域很大的Helmholtz方程时,产生的线性系统的阶数将非常的大,导致相当大的存贮空间,计算的代价也很高昂。同时这些系统常常也是不定的,或非对称的,这就使得方程的求解更加困难。根据波导对区域水平距离依赖很弱的特性,本文采用在波的传播计算中有效常用的步进方法,如One-way方法计算声波的传播。 最后,用步进方法计算波的传播问题将涉及方程的特征问题。曾有人做过界面是平坦的光波导的特征值问题,而本文研究的是在带有弯曲界面的声波导中的波传播性态。我们先选取适当的非线性坐标正交变换及方程变换将界面拉直,然后从数值角度出发,离散上述问题的特征方程相应的算子,得到一复矩阵;为求特征问题,利用Rayleigh迭代方法的具有局部收敛和快速收敛的特点,构造多重Rayleigh迭代算法,成功地求出此复矩阵的特征值与特征向量,为波的传播计算提供了基础。 结果表明,上述算法不仅可以较好地求出Helmholtz方程在无界区域中的模(Propagation Mode, Leaky Mode, Berenger Mode)的特征分布,而且用此分布可以较精确地求解无界区域上Helmholtz方程。我们所设计的方法具有易于数值


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